4.2 对数（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

4.2 对数 一、对数的概念 1、定义：如果（，且），那么就称是以a为底N的对数， 记作，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 1、常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，对数简记为； 2、自然对数：以无理数为底的对数称为自然对数，对数简记为. 三、对数的运算性质 1、运算性质：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 题型一 对数概念的理解 【例1】（2023·全国·高一专题练习）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2023·江苏·高一专题练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·江苏·高一专题练习）若，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·江苏·高一专题练习）使式子有意义的x的取值范围是（ ） A． B． C． D．,且 题型二 指数式与对数式互化 【例2】（2023·高一课时练习）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2-1】（2023·江苏·高一专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． （1） （2） （3）. 【变式2-2】（2023·江苏·高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． （1） （2） （3）. （4）； （5）； （6）； （7）. 题型三 简单对数的求值 【例3】（2020·高一课时练习）下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）的值 . 【变式3-2】（2023·江苏·高一专题练习）计算 ． 【变式3-3】（2021秋·高一课时练习）.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 题型四 对数方程的求解 【例4】（2023·全国·高一专题练习）方程的根为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（2023·上海·高一专题练习）若，则 . 【变式4-2】（2023·江苏·高一专题练习）若，则 ． 【变式4-3】（2023·高一课时练习）已知，求的值. 题型五 换底公式运算 【例5】（2023·全国·高一专题练习）计算： （1）； （2）. 【变式5-1】（2022秋·高一课时练习）若， ，则 ． 【变式5-2】（2022·上海·高一专题练习）已知，，，则 【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若实数、、满足，则下列式子正确的是 A． B． C． D． 【变式5-4】（2023秋·甘肃天水·高一校考期末）计算： （1） （2） 题型六 对数运算性质求值 【例6】（2022秋·天津滨海新·高三校考期中）下列各式化简运算结果为1的是（ ） A． B． C．（且） D． 【变式6-1】（2022秋·湖北荆州·高一校考阶段练习） . 【变式6-2】（2020·高一课时练习）求的值. 【变式6-3】（2023·高一课时练习） ．（用数字作答） 题型七 已知对数表示未知对数 【例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知，用m表示为 ． 【变式7-2】（2023春·四