专题05 相似三角形的常见模型专训（10大题型）-2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题05 相似三角形的常见模型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 A字型相似 题型二 8字型相似 题型三 AX型相似 题型四 母子型相似 题型五 三角形内接矩形相似 题型六 射影定理相似 题型七 旋转相似 题型八 k字型相似 题型九 折叠相似 题型十 动态相似 【经典例题一 A字型相似】 【模型解读】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 1．（2023秋·江苏无锡·九年级江苏省天一中学校考阶段练习）如图，在中，，、分别是、边上的高，连接，若，则的长为(   )    A． B． C． D． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ． 3．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E． (1)求线段DE的长； (2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值． 4．（2023·全国·九年级专题练习）中，，，于，点在线段上，点在射线上，连接，，满足． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点，连接，若，．当最小时，直接写出的面积． 【经典例题二 8字型相似】 【模型解读】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ． 3．（2023·全国·九年级专题练习）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目 如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2） 请回答：∠ADB＝       °，AB＝        （2）请参考以上解决思路，解决问题： 如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长 4．（2023春·河南·九年级专题练习）综合与实践： 数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答． 问题情境：在中，点P是边上一点．将沿直线折叠，点D的对应点为E． “兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作，与交于点F，连接，则四边形是菱形． (1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题； (2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为的中点时，延长交于点F，连接．试判断与的位置关系，并说明理由． 请你帮助他们解决此问题． (3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在边上时，，，．则的长为___________．（直接写出结果） 【经典例题三 AX型相似】 【模型解读】 A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化. 1、（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　） A． B． C． D． 2、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，交于点． ①若，求的长； ②作，垂足为，求证：． 3、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________． 4、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1． （1）请你探究：，是否都成立？ （2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗