专题3-6 抽象函数性质综合16种题型归类（讲+练）-【巅峰课堂】2023-2024学年高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019必修第一册）

专题 3.6抽象函数性质综合大题 · 一、热考题型归纳 · 【题型一】“类对数”函数型单调性 · 【题型二】“类对数”函数型奇偶性 · 【题型三】“类指数”函数型单调性（保积函数） · 【题型四】“类指数”函数型奇偶性（保积函数） · 【题型五】“类线性”函数型单调性（保和函数） · 【题型六】“类线性”函数型奇偶性（保和函数） · 【题型七】“线性”下移型函数单调性 · 【题型八】“线性”下移型函数奇偶性 · 【题型九】“线性”上移型函数单调性 · 【题型十】“线性”上移型函数奇偶性 · 【题型十一】“类余弦”函数型单调性 · 【题型十二】“类余弦”函数型奇偶性 · 【题型十三】“类余弦”函数型单调性 · 【题型十四】“类正切”函数型 · 【题型十五】含多项式函数型 · 【题型十六】综合应用型 · 二、培优练 热点考题归纳 【题型一】类“对数”函数型 单调性 【典例分析】 .定义在上的函数，满足，，当时，， （1）求的值； （2）判断函数的单调性； （3）解关于的不等式． 【提分秘籍】 抽象函数大题，基本技巧是赋值，有如下规律技巧： 1.第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1。 2.第二层次赋值：若题中有条件，则再令字母取。 3.第三层次赋值：拆分赋值。根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）。如4=2X2,8=4X2； 拆成和，3=1+2=1+1+2等等 【变式演练】 已知定义在上的函数，满足，而且当时，有． （1）求证：在上是增函数； （2）判断与的大小，并说明理由． 四川省自贡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【题型二】类“对数”函数型 奇偶性 【典例分析】 函数的定义域为，且满足对于任意，，有． (1)判断的奇偶性并证明你的结论； (2)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【提分秘籍】 证明奇偶性，实质就是赋值。如下常见证明奇偶性的赋值规律： 1.可赋值，得到一些特殊点函数值，如f（0），f（1）等， 2.尝试适当的换元字母，构造出x和-x，如f（x+y），可令y= -x，f（xy），可令y= -1等等 3.通过各类抽象函数式子，来积累一定的赋值技巧。 实际授课，是实验探索第2条来推导赋值第1条 【变式演练】 已知定义域为的函数满足对任意，都有． （1）求证：是偶函数； （2）设时， ①求证：在上是减函数； ②求不等式的解集． 【题型三】类“指数”函数型单调性（保积函数） 【典例分析】 （2021秋·河南信阳·高一校考阶段练习）已知定义在上的函数，满足，对于任意正实数、都有，当时，，且. (1)求证：； (2)证明：在上为减函数； (3)若，求实数的值. 【提分秘籍】 在证明抽象函数的单调性时的方法时需要构造的数量关系是,然后灵活运用题目的法则进行求解证明是关键,在证明过程中题目中的每一句都要进行灵活运用,类似单调性定义证法作差,化简,定号.本题有难度,需要在平常学习过程中多积累,多思考,多运用方法解题. 【变式演练】 （2018秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市中实学校校考期中）已知函数对于一切正实数，都有且时，，. （1）求证：； （2）求证：在上为单调减函数； （3）若，试求的值． 【题型四】 类“指数”函数型奇偶性（保积函数） 【典例分析】 （2023秋·全国·高一随堂练习）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围. 【提分秘籍】 对于抽象函数，可以提炼出各种对应的抽象式子，寻找积累对应的常见赋值规律。 如“保积函数”： f（a*b）=f（a）*f（b），证明奇偶性，则常令一个字母取-1。 【变式演练】 （2021·高一课时练习）若函数对任意实数x，y都有，则称其为“保积函数”． (1)若“保积函数”满足，判断其奇偶性并证明； (2)对于（1）中的“保积函数”，若时，，且，试求不等式的解集． 【题型五】类“线性”保型函数单调性（保和函数） 【典例分析】 （2023·河南·校联考模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 【提分秘籍】 证明单调性，实质就是构造定义法，在时，构造证明出正负。常见的构造规律如下： 1. 构造“和” 2.构造“积” 3. 利用构造, 4.利用奇偶性（主要是奇函数）构造， 这类题，变化较大，给学生讲透彻构造的目标。 【变式演练】 （2022·全国·高一专题练习）已知函数对任意，都有，且当时，． (1)求证：在上是增函数； (2)若关于a的方程的一个实根是1，求的值； (3)在