第09讲 对数与对数函数-2023-2024学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第09讲 对数与对数函数 【人教A版2019】 ·模块一 对数运算 ·模块二 对数函数 ·模块三 对数型复合函数 ·模块四 课后作业 模块一 对数运算 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 【考点1 对数运算法则】 【例1.1】（2023·全国·高一专题练习）下列结果正确的是（    ） A． B．   C． D． 【例1.2】（2023·全国·高一专题练习）已知均为正实数，若，则＝（    ） A．或 B． C． D．2或 【变式1.1】（2023·江苏·高一专题练习）已知，则（    ） A．11或 B．11或 C．12或 D．10或 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 【考点2 换底公式的应用】 【例2.1】（2023秋·四川遂宁·高三校考阶段练习）若，则下列各式的值等于1的是（ ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D．8 【变式2.1】（2023春·广东揭阳·高一统考期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 模块二 对数函数 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 2．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 【考点3 对数函数的图象】 【例3.1】（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【例3.2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数（为常数，其中）的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023春·云南红河·高一校考期中）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． B． C． D． 【变式3.2】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点4 对数函数单调性的应用——比较大小】 【例4.1】（2023秋·北京·高三校考阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2023秋·天津和平·高三校考阶段练习）设是定义域为的偶函数，且在上单调递增，若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【考点5 对数函数单调性的应用——解不等式】 【例5.1】（2023·安徽·校联考模拟预测）定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集