5.1.1 变化率问题-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章《一元函数的导数及其应用》 5.1.1变化率问题 [核心素养·学习目标] 学习目标 核心素养 1． 初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义. 2． 会求函数的平均变率与瞬时变化率.并能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值. 通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率。 课前预习 考点一：瞬时速度的定义 (1)物体在 的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于 ，我们就说当Δt无限趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝ ＝ . 考点二　函数的平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为 我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 考点三　函数在某点处的导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 ，即f′(x0)＝ ＝ 知识讲解 1 平均变化率 若某个问题中的函数关系用表示，可用式子表示函数从到的平均变化率. 【例】 函数在区间上的平均速度为． 它与斜率相等. 2 瞬时变化率 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 3导数概念 函数在处的瞬时变化率是 则称它为函数在处的导数，记作，即 【大招总结】 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 3．函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 二级结论总结 1.变化率 事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率 一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为： 3.如何求函数的平均变化率 求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即。 典型例题 【例1】已知物体做直线运动对应的函数为，其中S表示路程，t表示时间．则＝10表示的意义是（　　） A．经过4s后物体向前走了10m B．物体在前4秒内的平均速度为10 m/s C．物体在第4秒内向前走了10m D．物体在第4秒时的瞬时速度为10m/s 【解题思路】根据导数的物理意义可知，函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可． 【解答过程】∵物体做直线运动的方程为， 根据导数的物理意义可知，函数的导数是t时刻的瞬时速度， ∴表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s． 故选：D． 【例2】为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（    ） A．在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同； C．在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D．在，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同． 【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【解答过程】A选项，根据图象可知，在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确. B选项，根据图象以及导数的知识可知，在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同， B选项结论正确. C选项，根据图象可知，在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同， C选项结论正确. D选项，根据图象可知