热点专题04 函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性)-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点专题04函数的基本性质(单调性、最值和奇偶性) 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 知识点3 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点4 奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． 题型一 证明函数的单调性 【例1】已知 (1)函数的值域； (2)用定义证明在区间上是增函数； (3)求函数在区间上的最大值与最小值． 【例2】已知函数． (1)试用单调性定义判断在上的单调性； (2)求函数在上的最值． 【变式1-1】讨论函数在区间上的单调性，并根据函数单调性的定义证明. 【变式1-2】设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数； 【变式1-3】已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数. 题型二 判断函数的单调性和奇偶性 【例3】下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【例4】下列四个函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列函数中既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 题型三 求函数的单调区间 【例5】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的递增区间是 B．的递减区间是 C．的递增区间是 D．的递增区间是 【例6】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】函数，单调递减区间为 ． 【变式3-2】已知函数，则的单调递增区间为 . 【变式3-3】函数的单调递减区间是 . 题型四 利用奇偶性求函数值 【例7】设函数为偶函数，则（    ） A．22 B． C． D．21 【例8】已知，其中为常数，若，则 ． 【变式4-1】已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则 . 【变式4-2】函数，其中､､是常数，且，则 ． 【变式4-3】已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 题型五 利用奇偶性求解析式 【例9】已知函数为R上的奇函数，当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【例10】已知函数为奇函数，且当时，则当时， ． 【变式5-1】已知定义域为，值域为，且，写出一个满足条件的的解析