难点冲刺02 二次函数的六个最值问题-2023-2024学年九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

难点冲刺02二次函数的六个最值问题 技巧一、二次函数在区间上的最值问题 1、定轴定区间 对于二次函数在上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值）： （1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在时，取到最小值，无最大值． （2）若，如图②，当，；当，． （3）若，如图③，当，；当，． （4）若，，如图④，当，；当，． 2、轴或动区间 对于二次函数，在（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与的大小． 技巧二、线段最值的解题思路 一般将所求线段在抛物线上的点的坐标设出来，另一个端点的坐标也设出来，若横坐标相同，用两个点的纵坐标相减即可得出一个二次函数解析式的形式，求出这个函数的最值即可;若是纵坐标相同，采用同样的方法，也可求出。 技巧三、线段和或周长最值解题方法 将军饮马原理:两点间线段最短:点到直线的垂直距离最短. 策略:对称（翻折)→化同为异:化异为同:化折为直. 技巧四、割补法（铅锤线法) 过动点竖直作切割线，将几何图形切割成两个图形分别求面积然后求和化简即可得到几何图形的面积，可得最大面积. 题型一 定轴定区间求最值 【例1】二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【例2】已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为 ． 【变式1-1】已知二次函数（其中x是自变量），当时，y随x的增大而增大，且时，y的最大值为9，则a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．或 【变式1-2】已知二次函数． （1）当时，二次函数的最小值为 ． （2）当时，二次函数 的最小值为，则m的值为 ． 【变式1-3】在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，且点在点的左侧． （1）点的坐标为 ； （2）当时，抛物线的最小值为，则的值为 . 题型二 动轴定区间求最值 【例3】已知二次函数，当自变量的取值在的范围中时，函数有最小值，则的最大值是 . 【例4】已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【变式2-1】已知关于的二次函数，其中为实数. （1）当取任意实数时，该二次函数有最小值为 ； （2）当时，该二次函数有最小值10，则的值为 . 【变式2-2】在平面直角坐标系中，抛物线． (1)若抛物线经过，两点时，求抛物线的解析式； (2)若点，在抛物线上，且，请直接写出结果m的取值范围； (3)当时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，．    (1)若，求该抛物线的解析式； (2)若，是（1）中抛物线上的两点，且，求线段中点M的坐标； (3)当时，y有最小值3，求t的值． 题型三 定轴动区间求最值 【例5】当时，二次函数的最小值为8，则的值为（    ） A．或5 B．5或8 C．或8 D．0或5 【例6】二次函数，当，有最小值1，则m的值为 ． 【变式3-1】当，函数的最小值为0，则的取值范围为 ． 【变式3-2】已知二次函数（为常数，）．点在该二次函数的图象上． (1)求该抛物线与坐标轴的交点； (2)当时，该二次函数值取得的最大值为9，求的值． 【变式3-3】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．      (1)求抛物线的表达式； (2)当时，抛物线有最小值5，求的值． 题型四 求线段最值 【例7】如图，在中，，cm，cm．点P从点A开始沿AC边向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CB边向点B以1cm/s的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，用S表示的面积，t表示移动的时间． (1)求秒时，的面积； (2)求S关于t的函数关系式，并求面积的最大值； (3)当t为何值时，PQ的距离最短，并求这个最短距离． 【例8】如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（    ） A．4.8 B．5 C．5.4 D．6 【变式4-2】如图，抛物线L：yx2x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD的最大值，并求出此时点P的坐标； 【变式4-3】如图，抛物线经