难点冲刺01 角度计算八大常见模型-2023-2024学年八年级数学上册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

难点冲刺01角度计算八大常见模型 模型一、A字模型 条件:与. 结论:. 证明:根据三角形内角和可得,, ,得证. 模型二、8字模型 条件:相交于点 结论:（上面两角之和等于下面两角之和） 证明:在中,由内角和定理:,在中,, ,由对顶角相等: ,得证. 模型三、飞镖模型 条件:四边形如上左图所示. 结论:（四边形凹外角等于三个内角和） 证明:如上右图,连接AD并延长到,则: . 本质为两个三角形外角和定理证明. 模型四、双垂直模型 条件:. 结论:. 证明:，， 又 同理,,且,得证. 模型五、风筝模型 条件:四边形,分别延长于点,如上左图所示. 结论: 证明:如上右图,连接,则, ,得证. 模型六、两内角角平分线模型 条件:中,分别是和的角平分线,且相交于点. 结论: 证明:是平分线,， 是平分线, 由的飞镖模型可知: 模型七、两外角角平分线模型 条件:中,分别是的外角的角平分线,且相交于点. 结论:. 证明:是平分线,是平分线,， 由中内角和定理可知: 所以， 所以 模型八、内外角角平分线模型 条件:中,分别是的内角和外角的角平分线,且相交于点 结论: 证明:是平分线,是平分线,， 由外角定理可知:即:①， 对(1)式两边同时除以2,得:②， 又在中由外角定理可知:③， 比较(2)(3)式子可知: 题型一、A字模型 【例1】如图，将沿折叠，使点与点重合，若，，则 ， ．    【例2】如图是一张直角三角形纸片，，，将折叠使点B和点A重合，折痕为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式1-2】如图，已知l1l2，∠A＝45°，∠2＝100°，则∠1的度数为（　　） A．50° B．55° C．45° D．60° 【变式1-3】如图，在中，平分交于点，过点作交于点，若，，则的大小为(    ) A． B． C． D． 题型二、8字模型 【例3】如图，已知为边延长线上一点，于交于，，，求的度数． 【例4】如图所示，已知，，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，点在的延长线上，于点，交于点．若，，求的度数．    【变式2-2】如图，已知，，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式2-3】如图①，已知线段，相交于点，连接，．如图②，在图①的条件下，和的平分线和相交于点，并且分别与，相交于点，．试解答下列问题：    (1)在图①中，请直接写出，，，之间的数量关系； (2)在图②中，若，，试求的度数； (3)如果图②中的和为任意角，其他条件不变，试写出与，之间的数量关系，并说明理由． 题型三、飞镖模型 【例5】如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例6】如图，平分，交于点，则的度数为 ．    【变式3-1】如图，在中，D，E分别是边和上的点，若，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过B、C． (1)若，则_______°，______°，＝_______°． (2)若，则_______°． (3)请你猜想一下与所满足的数量关系． 【变式3-3】如图，已知分别平分，若，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 题型四、双垂直模型 【例7】如图所示，一副三角尺摆放置在矩形纸片的内部，三角形的三个顶点恰好在矩形的边上，若，则等于 ．    【例8】将一块含有45°角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式摆放，若，则的度数是（    ） A．65° B．55° C．50° D．45° 【变式4-1】如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数． 【变式4-2】如图，在中，于点于点和交于点，求和的度数．    【变式4-3】王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点在 上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离． 题型五、风筝模型 【例9】如图，中，，将沿折叠，点A落在F处，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例10】如图中，分别是和的外角平分线，，则（　　）      A． B． C． D． 【变式5-1】已知：如图，的两个外角的平分线交于点P，如果，则 ．    【变式5-2】（1）如图1，将纸片沿折叠，使点C落在四边形内点的位置， ①若，，则_________； ②探索、与之间的数量关系