第22章 一元二次方程 讲义 2022-2023学年华东师大版九年级数学上册

课 题 第22章 一元二次方程 讲义 2022-2023学年华东师大版九年级数学上册 教学目标 1.掌握一元二次方程的五个考点 考点及 考试要求 1. 一元二次方程的定义； 2. 一元二次方程的求解； 3. 一元二次方程判别式； 4. 一元二次方程根与系数的关系； 5. 一元二次方程的应用； 知识点 精讲 【考点一：一元二次方程的定义】 定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程。 一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a≠0） 【典型例题】 例1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【考点二：一元二次方程的解】 1.直接开平方法： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． 2.配方法： 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3.公式法： 一元二次方程的求根公式： 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c． 4.因式分解法： 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式 【典型例题】 例1. 方程的解是（ ） A.2 B.3 C.－1，2 D.－1，3 例2.若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为______ 例3.已知x = 1是一元二次方程的一个根，求 的值 例4.已知关于x的方程有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为 【考点三：一元二次方程根的判别式】 根的判别式： 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1） 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2） 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根． 相反地,也可以根据方程实数根的情况判别 【判别式的作用】： （1）定一元二次方程根的情况． （2）确定一元二次方程中待定系数的取值 （3）证明字母系数方程根的情况 【典型例题】 例1.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则下列关于 的判断正确的是 ( ) A. B. C. D. 例2.下列四个结论中，正确的是 （ ） A. 方程x＋=－2有两个不相等的实数根 B.方程x＋=1有两个不相等的实数根 C.方程x＋=2有两个不相等的实数根 D.方程x＋=a（其中a为常数，且|a|>2）有两个不相等的实数根 例3.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围 是 ，k的非负整数值是_________________. 例4.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根 【考点四：一元二次方程根与系数的关系】 韦达定理： 对于一元二次方程，当判别式时，其两根的关系为 根与系数的这种关系又称为韦达定理； 【应用】：整体带入求值 【典型例题】 例1.已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是 例2.若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，求a+b的值 例3.已知一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值 【考点五：一元二次方程的应用】 【典型例题】 1.增长率问题： 求解增长率问题的关键是正确理解增长率的含义。一般地，如果某种量原来是a，每次以相同的增长率（或减少率）x增长（或减少），经过n次后的量便是a(1+x)n（或a(1-x)n） 例1.上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元. 下列所列方程中正确的是（ ） A． B． C． D． 例2.某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为_______________________ 例3.汽车产业是A市支柱产业之一，产量和效益逐年增加.据统计，2020年A市某种品牌汽车的年产量为6.4万辆，到2022年，该品牌汽车的年产量达到10万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2020年开始五年内保持不变，则A市该品牌汽车2023年的年产量为多少万辆？ 2.图形面积: 例1.如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m