专题3.3 幂函数（重点题型解题技巧）-2023-2024学年高一数学上学期重难点题型秒杀秘籍与满分必刷（人教A版2019必修第一册）

专题3.3 幂函数（重点题型解题技巧） 【题型1 求幂函数的解析式（凹凸问题）】 【题型2 求幂函数及复合函数的定义域及定点问题】 【题型3 判断五种常见幂函数的奇偶性】 【题型4 由幂函数的单调性解不等式及比较大小】 题型1 求幂函数的解析式（凹凸问题） 一：幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数 作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． ①当α>0时，函数在[0,+∞)上是增函数； 当α<0时，函数在[0,+∞)上是减函数 ②当α>0时，函数在(0,+∞)上的增长趋势如何？ 指数越大，越靠近x，指数越大，越靠近x 幂函数解析式的确定步骤 第一步：如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即 第二步：将点代入所设解析式中 即 二：函数y=f(x)凸性的几何特征 下凸：函数在区间的图象总在线段的下方 故存在 图象如下： 下凸：函数在区间的图象总在线段的上方 故存在 图象如下： 形如1：已知幂函数的图象过点，则 破解：因为函数是幂函数，所以设，代入，得，解得 所以所以 形如2：已知函数是幂函数.若对于，且，均有，则 破解：因为是幂函数，所以，解得或3 因为，且，均有，所以的图象在第一象限上凸，因此 所以，所以 形如3：若是幂函数，则＝ 破解：由题意得，解得，故，所以 形如4：已知幂函数在上单调递减. (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围 破解：（1）因为幂函数在上单调递减，则，解得，故。 （2） 由（1）可知，对任意的恒成立 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立 所以，，因此，实数的取值范围是 一、单选题 1．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 二、填空题 4．幂函数是偶函数，且在上为增函数，则函数解析式为 ． 5．已知幂函数()是偶函数，且在上是增函数，则函数的解析式为 ． 6．已知幂函数在第一象限单调递减，则 . 三、解答题 7．已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)求函数的值域． 8．函数是幂函数，且当时，是增函数，求的解析式. 9．已知幂函数的图象经过点. (1)求的解析式:并判断它的奇偶性（不证明）； (2)若，求a的取值范围. 10．已知幂函数是偶函数． (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围． 题型2 求幂函数及复合函数的定义域及定点问题 定义域：(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负； (3)的底数不为零； (4)的底数不为零； 注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R. 第二步：列出不等式（组） 第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域. 定点问题： 形如 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．当时，的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过点， C．幂函数的图象有可能出现在第四象限 D．若幂函数在区间上单调递减，则 2．下列关于幂函数的命题中正确的有（    ） A．幂函数图象都通过点 B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限 C．当幂指数时，幂函数是增函数 D．若，则函数图象不通过点 3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（　   ） A． B．恒过定点 C．若时，关于轴对称 D．若时， 三、填空题 6．幂函数的图像恒过定点 ． 7．已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 . 8．若幂函数的图象经过点，则 ． 9．已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ． 四、概念填空 10．对幂函数，填空： （1）当，时，图象恒过 和 两点；其中当时，幂函数图象在图象的 方；当时，幂函数图象在图象的 方． （2）当，时，图象也恒过 和 两点；其中当时，幂函数图象在图象的 方；当，幂函数图象在图象的 方． （3）当，时，图象恒过点 ． 题型3 判断五种常见幂函数的奇偶性 根据题干已知单调性及奇偶性便可确定具体幂函数的表达式，然后画出对应的图象可以解决题干所求 形如1．已知幂函数为偶函数，． (1)若，求； (2)已知，若关于x的不等式在上恒成立，求的取值范围． 破解：（1）对于幂函数，