专题07 双曲线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题07 双曲线压轴题（学生版） 1.双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 2.双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型一 双曲线的标准方程 （1）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （2）已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （3）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． （4）已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）已知两圆，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （2）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （3）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． （4）动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （5）在矩形中，，AB＝6，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点．过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P的坐标满足的方程是（    ） A． B． C． D． 题型二 双曲线的最值问题 例2（1）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（    ）． A． B． C．6 D．12 （3）已知向量，满足的动点的轨迹为，经过点的直线与有且只有一个公共点，点在圆上，则的最小值为（    ）． A． B． C． D．1 （4）在直角坐标系中，是双曲线的两条渐近线上的动点，满足点A在第一象限，点在第四象限，且直线与的右支有交点. (1)求的最小值； (2)设是直线与的一个交点且.记上的点到的焦点的距离的取值集合为S，若，求面积的取值范围. 练习题 （1）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． （2）是双曲线=1的右支上一点，M、N分别是圆和=4上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 （3）已知双曲线：，双曲线与共渐近线且经过点    (1)求双曲线的标准方程． (2)如图所示，点是曲线上任意一动点（第一象限），直线轴于点，轴于点，直线交曲线于点（第一象限），过点作曲线的切线交于点，交轴于点，求的最小值． 题型三 离心率的取值及其范围 例3：（1）已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率 . （2）已知双曲线：的右焦点为，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线