专题06 椭圆的压轴题（6类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题06 椭圆压轴题（学生版） 1.椭圆的定义： 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 当=时，轨迹是线段FF；当<时，无轨迹； 2.椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 3.直线与椭圆的位置关系 （1）．直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系,直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系,如图所示． （2）．利用方程讨论直线与椭圆的位置关系 设直线方程为,椭圆方程为,由方程组消去一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则有下列结论： 直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交； 直线与椭圆有且只有一个公共点⇔直线与椭圆相切； 直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离． （3）．弦长问题 设直线交椭圆于点两点,则 同理可得 可利用根与系数的关系求解,常进行以下变形： 题型一 椭圆的标准方程 例1（1）若△ABC的三边长a､b､c满足，､，则顶点B的轨迹方程是 . （2）已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，，且的面积为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． （3）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （    ） A． B． C． D． （4）已知椭圆C的焦点为，过的直线与C交于P，Q两点，若，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． （5）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）已知椭圆C的焦点为，，过的直线交于C与A，B，若，，则C的方程为（    ） A． B． C． D． （2）在中，点、 点，且是和的等差中项，则点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． （3）已知椭圆C的焦点为，，过的直线与C交于A，B两点．若，，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． （4）椭圆的两个焦点分别为、，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则椭圆的方程为 A． B． C． D． （5）已知椭圆的左､右焦点分别为，，为上一点，若为的内心，且，则的方程可能是 A． B． C． D． 题型二 椭圆中的最值与范围问题 例2（1）已知定圆， ，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为 A． B． C． D． （2）已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么（    ） A． B．4 C．8 D． （3）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． （4）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）已知F是椭圆的左焦点，M是椭圆C上任意一点，Q是圆上任意一点，则的最小值为（    ） A．-4 B．-3 C．-2 D．-1 （2）点，是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （5）两圆，.动圆在圆内部且与圆相内切，与圆相外切，求动圆圆心到原点的距离的最大值 . （6）设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是 . 题型三 椭圆的离心率及离心率的范围 例3：（1）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（    ） A． B． C． D． （2）已知椭圆，点为直线与轴的交点，点是直线上异于的定点，是椭圆上一动点，且面积最大值是它的最小值的倍.当椭圆的四个顶点构成四边形面积最大值时，椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． （3）.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，（，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 练习题 （1）是