第七章微专题7 多星问题与临界问题 -【优化探究】2023-2024学年新教材高中物理必修第二册同步导学案配套教参（人教版，多选）

微专题7　多星问题与临界问题 授课提示：对应学生用书第88页 　双星问题 1．双星模型 宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫作双星模型(如图所示)。 2．双星的特点 (1)由于双星和该固定点O总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等。 (2)由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m1ω2r1＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L(L是双星间的距离)，可得r1＝L，r2＝L，即固定点离质量大的星球较近。 (3)列式时需注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，该处按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的轨道半径。 3．多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。 (2)常见的三星模型 ①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)。 (3)常见的四星模型 ①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)。 ②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上另一颗位于中心O，外围三颗星体绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)。 　宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。 (1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比； (2)试写出它们角速度的表达式。 [解析]　双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝G，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。 (1)分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程， 对m1有G＝m1ω2r1① 对m2有G＝m2ω2r2② 由①②得＝； 由线速度与角速度的关系v＝ωr，得＝＝。 (2)由①得r1＝，由②得r2＝， 又L＝r1＋r2，联立以上三式得ω＝ 。 [答案]　(1)见解析　(2)ω＝ 名师点评 求解双星问题的思路 1．两个星球之间的万有引力为它们做匀速圆周运动提供向心力。 2．两个星球的角速度和周期都相同。 3．两个星球做匀速圆周运动时圆心为同一点。 4．两个星球的轨道半径之和等于它们之间的距离。 　1.(多选)某双星系统由两颗恒星构成，质量分别为m1和m2，距中心的距离分别为r1和r2，且r1>r2，则下列表述正确的是(　　) A．它们运转的周期相同 B．它们的线速度大小相同 C．m2>m1 D．它们的加速度大小相同 解析：双星系统的角速度和周期是相同的，A正确；双星系统的角速度相等，根据v＝rω及r1>r2知，它们的线速度一定不同，B错误；设双星之间的距离为L，对m1：G＝m1r1ω2，对m2：G＝m2r2ω2，解得m1r1＝m2r2，因为r1>r2，所以m2>m1，C正确；对m1：G＝m1a1，对m2：G＝m2a2，解得＝，故加速度大小不同，D错误。 答案：AC 2.(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所示。三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，则(　　) A．每颗星做圆周运动的线速度大小为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为2π D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 解析：每颗星受到的合力为F＝2G sin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式得F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确，D错误。 答案：ABC 　临界问题 　当星球自转越来越快时，星球对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是＝mR。 临界问题也可以应用其他方面的扩展。 　2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　) A．5×109 kg/m3　　　 B．5×1012 kg/m3