第五章5.2.2导数的四则运算法则-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．2.2　导数的四则运算法则 [学习目标]　1.理解两个函数的和、差、积、商的求导法则．　2.会推导导数的四则运算法则．　3能够综合运用导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数． 授课提示：对应学生用书第57页 预习教材，思考问题 问题1　设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？再取几组函数，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 问题2　设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？　　　 [预习自测] 1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D． 解析：∵f′(x)＝3ax2＋6x， ∴f′(－1)＝3a－6＝4， ∴a＝. 答案：D 2．设函数y＝－2ex sin x，则y′等于(　　) A.－2ex cos x B.－2ex sin x C.2ex sin x D.－2ex(sin x＋cos x) 解析：y′＝－2(ex sin x＋ex cos x) ＝－2ex(sin x＋cos x). 答案：D 3．已知f(x)＝，则f′(1)＝________． 解析：f′(x)＝ ＝＝， 所以f′(1)＝1. 答案：1 4．已知f (x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________． 解析：因为f (x)＝x2，g(x)＝ln x， 所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0， 所以f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0， 解得x＝1或x＝－(舍去)，故x＝1. 答案：1 授课提示：对应学生用书第57页 　导数的运算法则 　已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. 1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． 2．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． 3.′＝. [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝x5＋x3； (2)y＝3x2＋x cos x； (3)y＝； (4)y＝lg x－ex； (5)y＝(＋1). (6)y＝x＋sin cos . 分析：(1)～(5)为几个基本初等函数四则运算求导，根据导数的运算法则公式求解即可；第(6)题要先化简三角函数． [解]　(1)y′＝′＝′＋′＝x4＋4x2. (2)y′＝(3x2＋x cos x)′＝(3x2)′＋(x cos x)′＝6x＋x′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－x sin x． (3)y′＝′＝＝＝. (4)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex. (5)y′＝′ ＝′＝′ ＝′－′＝－x－－x－ ＝－. (6)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋sin x， ∴y′＝′＝x′＋′＝1＋cos x． 　1.分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定所需的求导法则和基本公式． 2．如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导、商式变乘积式求导、三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导． 　1.求下列函数的导数： (1)y＝x2＋x ln x； (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (5)y＝x tan x． 解：(1)y′＝(x2＋x ln x)′＝(x2)′＋(x ln x)′ ＝2x＋x′ln x＋x(ln x)′ ＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1. (2)y′＝′＝ ＝＝. (3)y′＝′＝＝＝. (4)法一：y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′ ＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3 ＝12x2＋4x＋6x2－3 ＝18x2＋4x－3. 法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1， ∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′ ＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′ ＝18x2＋4x－3. (5)y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝ ＝. 　导数公式及运算法则的应用 [例2]　(1)设曲线y＝a(x－1)ex在点(1，0)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0垂直，则实数a＝________． (2)已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________． 分析：(1)根据两直线垂直，可得出切线斜率，