第五章章末综合提升-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 章末综合提升 归纳、整理、综合本章所学知识！ 授课提示：对应学生用书第102页 考点1 导数的几何意义及应用 1.(2021新高考1卷)若过点(a,b)可以作曲线y=e的两条切线，则() A.eb<a B.each C.0aeb D.0<b<e4 解析：易知曲线y=e在点Pt,e)处的切线方程为y-e=e'(-) ,切线过，点(a,b),.b-心=心(a-0, 整理得e(t-a-1)+b=0. 令0=c't-a-1)+b, 则f0=e'(t-a), 当Ka时，f00,当ra时，f0>0, 术0在（一∞，a)上单调递减，在(a,+∞）上单调递增， .当1=a时，0取得最小值a)=-ea+b 由已知得，)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数， 0有且仅有2个零点 ∴.a)=-ea+b<0, 即b<e ①若b≤0，则当ta时，t-a-1<0,e'(t-a-1)0,剡t00, ∴0在（一，a)上无零点，而0在[a,十o)上至多有一个零点，不合题意， ②若0<b<e, 由以上讨论可知， 0在(-∞，a)上为减函数，在(a,十∞)上为增函数， ∴，0mm=a)=-ea+b<0, 且lims do8t→-o0=b>0,fa+1)=b>0, ·官方授权侵权必究· 色学科网书城■ 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由零，点存在性定理可知(0)在（一∞，a)和[a,十∞）上各有一个零，点，结合)的单调性 知)有且只有两个零，点. 综上，0<b<e 答案：D 2.(2022新高考‖卷)曲线y=ln过坐标原点的两条切线的方程为 解析：由题意可知，函数的定义域为{xk≠O}.易证函数y=n似为偶函数，当x>0时， y=lnx,设切，点坐标为(o,nxo):y=1x,.切线斜率k=y=。=lx0, 故切线方程为y-lnxo=IxOx-xo).又知切线过原点(0,0)，.-lhxo=一1，xo=C, 故切线方程为y一1=1(x一e),即y=1ex.由偶函数图象的对称性可知为一条切线方程为y= -lex,故过坐标原，点的两条切线方程为y=lex;y=一1er(不分先后) 答案：y=l1exy=-ler(不分先后) 3.(2022新高考1卷)若曲线y=x十a)e有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围 是 解析：设x)=y=(x+a)e,则f)=(c+a+l)e.设切点为(o,(co十aeo), 因此切线方程为y-(+a)eo=(o十a+1)eo(c-xo) 又：切线过原，点(0,0)，.-(0十a)e0=(xo十a十1)c0(-xo),整理得x20+0一a=0 丈切线有两条，'.关于x0的方程x20+o-a=0有两不相等的实根，故d=a2+4a>0,解 得a>0或a<-4 答案：(-∞，一4)U(0,+∞) 4.(2022全国甲卷)已知函数x)=x3一x,ge)=x2+a,曲线y=x)在点(：，x)处的 切线也是曲线y=gx)的切线， (1)若=-1，求a: (2)求a的取值范围. 解：法一：由题意可知fx)=3x2-1,x1)=x31-1,则曲线y=)在点(，fx》处的 切线方程为y-(31-x1)=(3x21-1)x-),即y=(3x21-1x-2x31① 因为曲线y=x)在，点(1，)》处的切线也是曲线y=g)的切线，所以2131y=(3x一1)》 x一2x,y=x2十a有且仅有一组解， 即方程x2一(3x21一1)x+2x31+a=0有两个相等的实数根， ·官方授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 从而△=(3x21-1)2-42x31+a=0=4a=9x41-8x31-621+1. (1)若x1=-1,则4a=12白a=3 (2)4a=9x41-8x31-6x21+1, 令hr)=9xr4-8r3-6r2+1,则h'(x)=36r3-24r2-12x=12xx-1)3x+1), 令h'r)>0,得-13<x<0或x>1;令(m<0,得x<-I3或0<x<1, 所以hx)在as4 alicol(-13),0)和(1，+o)上单弱递增，在las4 alcol(-o,-1 f13》和(0,1)上单调递减 又1)=-4，hais-4alco1(-13)=2027,所以hr)≥-4， 所以a≥-1，故a的取值范国为[-1，+oo) 法二：由题意可知fx)=3x2-1,)=x31-为1，则曲线y=fx)在点(31，)》处的切线 方程为y-(31-)=(3x21-1)-),即y=(3x21-1x-231① 设公切线与曲线y=g(x)的切点为(，x22十