第五章5.3.2第1课时函数的极值-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第1课时　函数的极值(一) [学习目标]　1.理解函数的极大值、极小值、极值点的意义，掌握函数极值的判别方法．　2.结合函数图象，了解可导函数在某点取极值的必要条件和充分条件．　3.会用导数求函数的极大值和极小值，体会极值是函数的局部性质． 授课提示：对应学生用书第70页 预习教材，思考问题 问题1　函数的极小值点是点吗？ 问题2　函数的极小值唯一吗？ 问题3　函数的极大值一定大于它的极小值吗？ 问题4　导数值为0的点一定是函数的极值点吗？　　　 [预习自测] 1．已知函数f(x)是R上的可导函数，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则下列结论正确的是(　　) A．a，c分别是极大值点和极小值点 B．b，c分别是极大值点和极小值点 C．f(x)在区间(a，c)上单调递增 D．f(x)在区间(b，c)上单调递减 解析：由极值点的定义可知，a是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增． 答案：C 2．已知函数f(x)在x＝x0处连续，下列命题中正确的是(　　) A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值 C．如果在x＝x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值 D．如果在x＝x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值 解析：根据极值的概念，在x＝x0附近的左侧f′(x)>0，函数单调递增；在x＝x0附近的右侧f′(x)<0，函数单调递减，所以f(x0)为极大值． 答案：B 3．函数f(x)＝xex的极值点为________． 解析：由题意得f′(x)＝(x＋1)ex. 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 所以f(x)有极小值点为－1，无极大值点． 答案：－1 4．设函数f(x)＝＋ln x，则f(x)的极小值点为________． 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝. 令f′(x)＝0，解得x＝2. 当0<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 故2为f(x)的极小值点． 答案：2 授课提示：对应学生用书第71页 　函数极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极值点、极值 (1)极小值点、极大值点统称为极值点． (2)极小值和极大值统称为极值． [例1]　导函数y＝f′(x)的图象如图所示．在标记的点中，在哪一点处 (1)导函数y＝f′(x)有极大值？ (2)导函数y＝f′(x)有极小值？ (3)函数f(x)有极大值？ (4)函数f(x)有极小值？ [解]　(1)函数y＝f′(x)在x＝x2的左侧增右侧减，所以在x＝x2处取极大值． (2)函数y＝f′(x)在x＝x1和x＝x4的左侧减右侧增， 所以在x＝x1和x＝x4处取极小值． (3)在x＝x3处f′(x)＝0，左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0， 所以在x＝x3处y＝f(x)有极大值． (4)在x＝x5处f′(x)＝0，左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0， 所以在x＝x5处y＝f(x)有极小值． 　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点． 　1.函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，试找出函数f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点． 解：函数f(x)的极值点有x2，x4，其中极大值点为x2，极小值点为x4.在导函数图象中，取到极值的点都在x轴上．但只有在该点处两侧导数值异号的点才是极值点． 　函数极值的求解与判断 　函数极值的求解步骤 1．确定函数y＝f(x)的定义域． 2．求方程f′(x)＝0的根． 3．用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区