第五章5.3.1第2课时利用导数解决含字母参数的单调性问题-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第3课时　利用导数解决含字母参数的单调性问题 [学习目标]　1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系．　2.能求简单的含参函数的单调区间．　3.能根据函数的单调性求参数的取值范围． 授课提示：对应学生用书第68页 预习教材，思考问题 问题1　对于函数f(x)＝x3，我们发现，它的导函数f′(x)＝3x2并没有恒大于0，当x＝0时，有f′(0)＝0，这是否会影响该函数的单调性？ 问题2　对于函数y＝f(x)，f′(x)≥0是f(x)为增函数的充要条件吗？　　　 [预习自测] 1．函数f(x)＝kx－ln x(k>0)的单调减区间为(　　) A．　　　　　　　 B． C．(0，k) D． 解析：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－＝. 当k>0时，由f′(x)<0，即<0，解得0<x<. ∴当k>0时，f(x)的单调递减区间为. 答案：D 2．已知函数f(x)＝x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若f(x)在R上单调递增，则函数f(x)的导数f′(x)＝x2＋a≥0恒成立，即a≥0，所以“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件． 答案：A 3．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1，2]，则bc＝________． 解析：因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1，2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，所以－1，2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根．由根与系数的关系得b＝－，c＝－6，所以bc＝9. 答案：9 4．设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数).若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________． 解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，且为奇函数，∴f(0)＝e0＋ae-0＝1＋a＝0， ∴a＝－1，经检验符合题意． ∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－. ∵f(x)是R上的增函数， ∴f′(x)≥0在R上恒成立， 即ex≥在R上恒成立， ∴a≤e2x在R上恒成立． 又e2x＞0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]. 答案：－1　(－∞，0] 授课提示：对应学生用书第68页 　求含参数的函数的单调区间(判断含参函数的单调性) 　含有参数的函数单调性问题的处理方法 1．在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号，否则会产生错误． 2．分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了． [例1]　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． 分析：→→每种情况下确定函数在定义域上的单调性． [解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f′(x)＝， 由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1. 故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ②当a>0时，f′(x)＝. ∵a>0，∴>0. 由f′(x)>0，得x>1；由f′(x)<0，得0<x<1. 故f′(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 　1.求含参数的函数的单调性的方法往往首先考虑导数是否恒大于零或恒小于零，再考虑可能大于零、小于零的情况．常与含参数的一元二次不等式的解法有关，首先讨论二次项系数，再就是根的大小或判别式．能表示出对应一元二次方程的根时讨论根的大小、端点实数的大小，不能时讨论判别式． 2．注意：讨论参数要全面，做到不重不漏；解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 　1.设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞ )上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间； 当a>0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞). 　已知函数的单调性求参数的取值范围 　在某区间D上，若