第五章5.2.3简单复合函数的导数-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．2.3　简单复合函数的导数 [学习目标]　1.进一步运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．　2.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 授课提示：对应学生用书第60页 预习教材，思考问题 问题1　函数y＝ln (2x－1)是由基本初等函数通过加、减、乘、除得到的吗？ 问题2　如何求函数y＝sin 2x的导数？　　　 [预习自测] 1．函数y＝(2 024－8x)3的导数y′等于(　　) A．3(2 024－8x)2　　　　　 B．－24x C．－24(2 024－8x)2 D．24(2 024－8x)2 解析：y′＝3(2 024－8x)2×(2 024－8x)′ ＝3(2 024－8x)2×(－8)＝－24(2 024－8x)2. 答案：C 2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　) A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x 解析：y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′ ＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′ ＝2x cos 2x－2x2sin 2x. 答案：B 3．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析：∵f′(x)＝，∴f′(1)＝＝. 答案：A 4．曲线y＝ln (2－x)在点(1，0)处的切线方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0 解析：∵y′＝＝， ∴y′|x＝1＝＝－1，即切线的斜率是k＝－1. 又切点坐标为(1，0)， ∴y＝ln (2－x)在点(1，0)处的切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0. 答案：B 授课提示：对应学生用书第60页 　复合函数的求导法则 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对_u的导数与u对x的导数的乘积． [例1]　求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝cos (x2)； (3)y＝log2(2x＋1)； (4)y＝e3x+2. 分析：以上为复合函数求导，此类题目关键是要将复合的两个基本初等函数分解，再根据复合函数的求导法则求解． [解]　(1)令u＝1－3x，则y＝＝u-4， 所以y′u＝－4u-5，u′x＝－3， 所以y′x＝y′u·u′x＝12u-5＝. (2)令u＝x2，则y＝cos u， 所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2x sin (x2). (3)设y＝log2u，u＝2x＋1， 则y′x＝y′u·u′x＝＝. (4)设y＝eu，u＝3x＋2， 则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x+2. 　1.求复合函数的导数的步骤 2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁． 　1.求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝5log2(1－x)； (3)y＝sin . 解：(1)y＝(1－2x)－， 设y＝u－，u＝1－2x， 则y′x＝(u－)′(1－2x)′ ＝·(－2)＝(1－2x)－. (2)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， 所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′ ＝＝. (3)设y＝sin u，u＝2x＋， 则y′x＝(sin u)′′＝cos u·2＝2cos . 　复合函数求导法则的综合应用 　函数y＝(3x＋5)3可以看作函数y＝u3和u＝3x＋5的复合函数． 函数y＝e-0.05x+1可以看作函数y＝eu和u＝－0.05x＋1的复合函数． 函数y＝ln (2x－1)可以看作函数y＝ln u和u＝2x－1的复合函数． 函数y＝18sin 可以看作函数y＝18sin u和u＝t－的复合函数． [例2]　求下列函数的导数：(1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝x cos sin . [解]　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝ ＝＝. (2)y′＝(x)′＝x′＋x()′ ＝ ＋ ＝. (3)∵y＝x cos sin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－x sin 4x，