第四章4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

4．2　等差数列 4．2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学习目标]　1.理解等差数列、等差中项的概念．　2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．　3.掌握等差数列的判断与证明方法． 授课提示：对应学生用书第9页 预习教材，思考问题 问题1　如何判断一个数列是否为等差数列？用符号语言如何表示？ 问题2　等差中项的定义是什么？如何求出两个数的等差中项？ 问题3　等差数列与一次函数有什么关系？ 问题4　等差数列的通项公式是什么？如何推导出来的？　　　 [预习自测] 1．下列数列不是等差数列的是(　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.－3，－2，－1，1，2 答案：D 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A.4－2n　　　　　 B．2n－4 C.6－2n D．2n－6 解析：an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n. 答案：C 3．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d＝________． 解析：(－3)－(－6)＝3，故d＝3. 答案：3 4．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则B＝________． 解析：因为三个内角A，B，C成等差数列， 所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°， 所以3B＝180°，所以B＝60°. 答案：60° 授课提示：对应学生用书第9页 　等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正、可负、可为零． [例1]　下列数列是等差数列的是(　　) A.，，，　　　　　 B．1，，， C.1，－1，1，－1 D．0，0，0，0 分析：利用定义，检验即可． [解析]　因为－≠－，故排除A；因为－1≠－，故排除B；因为－1－1≠1－(－1)，故排除C. [答案]　D 　等差数列的定义 1．条件：(1)从第2项起．(2)每一项与它的前一项的差都等于同一个常数． 2．结论：这个数列是等差数列． 3．相关概念：这个常数叫做等差数列的公差，常用d表示． 　1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　) (2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) 解析：(1)若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列，故错误． (2)当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列，故正确． 答案：(1)×　(2)√ 　等差中项的概念 　由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b. [例2]　下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列？ (1)2，4；(2)－1，5；(3)0，0；(4)a，b. 分析：利用等差中项的定义求解即可． [解]　插入的数分别为(1)3.(2)2.(3)0.(4). 　等差中项的注意事项 1．任意两个实数都有等差中项． 2．应用等差中项法也可以证明一个数列为等差数列，即2an＋1＝an＋an＋2⇔数列{an}为等差数列． 　2.若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项． 解：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8　①. 又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10　②. 由两式化简，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中项为＝3. 　等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d． [例3]　(1)在等差数列{an}中，已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an. (2)已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，求a10. 分析：(1)由等差数列的通项公式可以看出，要求an，只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可． (2)利用是等差数列，求出，再求a10. [解]　(1)设等差数列{an}公差为d，由题意，知 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*. (2)设等差数列的公差为d，∵－＝－＝＝2d， ∴d＝.∴＝＋4×d＝＋4×＝.∴a10＝. 　等差数列通项公式的求法与应用技巧 1．等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． 2．等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数