第四章章末综合提升-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

授课提示：对应学生用书第42页 　等差数列、等比数列中基本量的计算 1．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14　　　　　　　 B．12 C．6 D．3 解析：法一：设{an}的公比为q， 则 得＝＝q(1－q)＝，4q2－4q＋1＝0，即(2q－1)2＝0， ∴q＝，代入①得a1＝96，故a6＝a1q5＝96×＝3. 法二：设数列{an}的公比为q，前n项和为Sn. 由a2－a5＝42，得q≠1. 由题意得 得＝4，即4q2－4q＋1＝0， ∴(2q－1)2＝0，得q＝，代入①得a1＝96， ∴a6＝a1q5＝96×＝3. 答案：D 2．(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________． 解析：∵2S3＝3S2＋6，∴2(3a1＋3d)＝3(2a1＋d)＋6，即6d＝3d＋6，解得d＝2. 答案：2 3．(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________． 解析：∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13， ∴公差d＝＝＝2， 首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1， ∴S10＝10a1＋d＝100. 答案：100 4．(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4＝________． 解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn-1＝qn-1. ∵a1＝1，S3＝， ∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝， 即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－， ∴S4＝＝. 答案： 5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数． (1)证明：设等差数列{an}的公差为d. 由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，① 由a3－b3＝b4－a4得a1＋2d－4b1＝8b1－a1－3d，故2a1＋5d＝12b1，②　由①②得2a1＋10b1＝12b1，即a1＝b1. (2)解：由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1，1≤m≤500得b1×2k-1＝2a1＋(m－1)d，即a1×2k-1＝2a1＋2(m－1)a1，其中a1≠0，∴2k-1＝2m，即2k-2＝m，∴1≤2k-2≤500，∴0≤k－2≤8，∴2≤k≤10. 故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素个数为9个． 6．(2020·新高考Ⅰ卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 解：(1)设{an}的公比为q. 由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8， 解得q＝(舍去)，q＝2. 由题设得a1＝2， 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n+1时，bm＝n，所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480. 　等差、等比数列的判定 7．(2022·北京卷)已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1，2，…).给出下列四个结论： ①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列； ④{an}中存在小于的项． 其中所有正确结论的序号是________． 解析：因为an·Sn＝9，所以a1·S1＝9.又an>0，所以a1＝3，a2·S2＝a2(a1＋a2)＝9，即a＋3a2－9＝0，得a2＝＝<3，所以①正确；当n≥2时，由Sn＝，得Sn－1＝，两式作差可得an＝－(n≥2)，即an＝(n≥2)，整理得＝(n≥2)，若数列{an}为等比数列，则当n≥2时，为常数，即数列{an}从第2项起各项均为同一个常数，易知当n＝3时不成立，所以②不正确；因为an·Sn＝an＋1·Sn＋1＝9，所以＝，由数列{an}的各项均为正数，得>1，所以an>an＋1>0，所以③正确；对于④，若数列{an}的所有项均大于等于，取n>90 000，由an≥且an>an＋1>0，得Sn>nan>900，所以an·Sn>9，与已知矛盾，所以④正确．综上，所有正确结论的序号是①③④. 答案：①③④ 8．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已