第四章微专题2数列求和-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

微专题2　数列求和 授课提示：对应学生用书第40页 求数列的前n项和，根据数列的不同特点，通常有以下几种方法： 1．公式法 公式法是数列求和常用的方法，等差数列{an}的前n项和公式Sn＝＝na1＋d，等比数列{an}的前n项和公式Sn＝ [例1]　设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*).{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6. (1)求Sn和Tn； (2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值． [解]　(1)设等比数列{bn}的公比为q. 由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0. ∵q>0，∴q＝2，故bn＝2n-1，∴Tn＝＝2n－1. 设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，∴Sn＝. (2)由(1)知T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n+1－n－2. 由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn， 可得＋2n+1－n－2＝n＋2n+1， 整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)或n＝4. 因此n的值为4. 2．倒序相加法 若一个数列{an}中与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项之和(一般情况下，首末两项之和为一个常数)，则可将“正着写和”与“倒着写和”的两式相加，便得到一个常数列的和，两边都除以2，即得到数列{an}的前n项和． [例2]　设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝__________． 分析：利用f(x)＋f(1－x)＝1倒序相加求和． [解析]　∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1. S＝f＋f＋…＋f，① S＝f＋f＋…＋f，② 由①＋②，得2S＝＋＋…＋[f＋f]＝2 023， ∴S＝. [答案]　 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．裂项时常用的五种变形： (1)＝(k≠0)； (2)＝； (3)＝(－)(k≠0)； (4)＝； (5)若数列{an}是等差数列，且公差d≠0，则＝. [例3]　若An和Bn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意正整数n，an＝2(n＋1)，3An－Bn＝4n. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)记cn＝，求{cn}的前n项和Sn. [解]　(1)∵an＝2(n＋1)，∴{an}为等差数列，且a1＝4， ∴An＝＝＝n2＋3n， ∴Bn＝3An－4n＝3(n2＋3n)－4n＝3n2＋5n. 当n＝1时，b1＝B1＝8； 当n≥2时，bn＝Bn－Bn－1＝3n2＋5n－[3(n－1)2＋5(n－1)]＝6n＋2. ∵b1＝8满足上式，∴bn＝6n＋2， ∴数列{bn}的通项公式为bn＝6n＋2. (2)由(1)知cn＝＝＝， ∴Sn＝[＋＋＋＋…＋＋] ＝＝－. 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和可用错位相减法求解． [例4]　若公比为q的等比数列{an}的首项a1＝1，且满足an＝(n＝3，4，5，…). (1)求q的值； (2)设bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)由题意可知2an＝an－1＋an－2(n＝3，4，5，…)， 即2a1qn-1＝a1qn-2＋a1qn-3. ∵a1＝1，∴2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－. (2)当q＝1时，an＝1，bn＝n，Sn＝. 当q＝－时，an＝，bn＝n·， Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋n×，① －Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×.② 由①－②，得Sn＝1－n×＋[＋＋＋…＋]， 整理得Sn＝－·. 5．分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加． [例5]　已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求{an}的通项公式； (2)若bn＝an＋q(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d. 由得解得 所以{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由an＝2n－1，得bn＝2n－1＋q2n-1. 当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋q7＋…＋q2n-1)＝n2＋； 当q＝1时，bn＝2n，则Sn＝n(n＋1). 所以数列{bn}的前n项和 Sn＝ 6．并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两(或多项)结合求解，则称之为并项求和．形如an＝