第四章微专题1数列的通项-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

微专题1　数列的通项 授课提示：对应学生用书第37页 1．观察法：已知数列前几项，写出数列通项公式 如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式(然后再用数学归纳法证明，也可以猜想出规律，然后正面证明．) [例1]　试写出下列数列的通项公式： (1)2，－1，，－，，－； (2)7，77，777，7 777； (3)b，a，b，a. [解]　(1)an＝(－1)n+1·. (2)an＝(10n－1). (3)an＝＋(－1)n(答案不唯一). 2．公式法：知道数列是等差数列或者是等比数列(包括根据已知条件可以转化的) 等差数列通项公式：，等比数列通项公式：. [例2]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝10，S4＝24. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令Tn＝＋＋…＋，求证：Tn<. (1)[解]　依题意⇒ ⇒⇒ ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)[证明]　∵Sn＝3n＋×n(n－1)×2＝n(n＋2)， ∴Tn＝＋＋…＋ ＝×＋×＋×＋…＋×＋× ＝×＝－×<，∴Tn<. [例3]　在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. [解]　(1)设{an}的公比为q，由题设，得an＝qn-1. 由已知，得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n-1或an＝2n-1. (2)若an＝(－2)n-1，则Sn＝. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n-1，得Sn＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. [例4]　满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． [解]　(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n-1，所以an＝n·2n-1. 3．形如：，利用公式an＝求通项an [例5]　设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通项公式an； (2)求数列{|an－n－2|}的前n项和． [解]　(1)由题意，得则 又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an. 又＝，所以对∀n∈N*，＝3， 因此数列{an}是首项a1＝1，公比为3的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为an＝3n-1，n∈N*. (2)设bn＝|3n-1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1. 当n≥3时，由于3n-1>n＋2，故bn＝3n-1－n－2，n≥3. 设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3. 当n≥3时， Tn＝3＋－ ＝， 所以Tn＝ [例6]　已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N＋.求{an}的通项公式． [解]　6Sn＋1＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)， 6(Sn＋1－Sn)＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)＝a＋3an＋1－a－3an＝6an＋1. a－a－3(an＋1＋an)＝0⇒(an＋1＋an)(an＋1－an－3)＝0. ∵an＋1＋an>0，∴an＋1－an－3＝0， ∴an＋1－an＝3. ∵6S1＝(a1＋1)(a1＋2)＝6a1，∴a1＝2或a1＝1(舍去)， ∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，{an}的通项公式为an＝2＋3(n－1)＝3n－1. 4．形如：(f(n)可以求和)转化为，利用累加法求解 [例7]　已知a1＝，an＋1＝an＋，求an. [解]　an＋1＝an＋⇒an＋1－an＝. 当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋＋＋…＋ ＝＋ ＝＋1－＝， a1＝符合上式， 所以an＝. 5．形如：(f(n)可以求积)转化为，利用累乘法求解 [例8]　已知a1＝，an＋1＝an，求an. [解]　an＋1＝an⇒＝. 当n≥2时， an＝a1× ＝× ＝× ＝(n≥2)， a1＝符合上式，所以an＝. 6．形如：(k，b为常数)转化为，利用待定系数法求解 [例9