第四章4.3.2第2课时等比数列的前n项和公式的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第2课时　等比数列的前n项和公式的应用 [学习目标]　会利用等比数列的前n项和公式解决有关几何问题、实际问题． 授课提示：对应学生用书第31页 预习教材，思考问题 问题1　等比数列的前n项和公式是什么？ 问题2　在较为陌生的情境中，识别数列的等比关系，继而用等比数列的知识解决问题．可见，数列等比关系的判断是首要条件，结合具体问题，你有哪些体会？　　　 [预习自测] 1．某工厂去年总产值为a，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是(　　) A．1.14a　　　　　 B．1.15a C．1.16a D．(1＋1.15)a 解析：去年产值是a，第一年要比去年产值增加10%，那么第一年就是a＋10%a，即a(1＋0.1)，第二年又比第一年增加10%，所以第二年是a(1＋0.1)(1＋0.1)， 依此类推，第五年是a(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)(1＋0.1)＝1.15a. 答案：B 2．某人2020年元旦存入一年期款a元，若按年利率为x计算(不计利息税)，则到2025年元旦可取款(　　) A．a(1＋x)5 B．a(1＋x)6 C．a(1＋x)4 D．a(1＋x5) 解析：一年后，可取回款a(1＋x)， 二年后，可取回款a(1＋x)2， 三年后，可取回款a(1＋x)3， 四年后，可取回款a(1＋x)4， 五年后，可取回款a(1＋x)5. 答案：A 3．一个乒乓球从1米的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍，则第n次着地时，小球下落的高度之和为________．(用式子表示) 解析：依题意，记小球每次下落的高度构成数列{an}，则数列{an}是以a1＝100为首项，公比q＝0.61的等比数列．第n次着地时，小球下落的高度之和为Sn＝. 答案： 4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟． 解析：由题意可得1＋2＋22＋23＋…＋2n-1≥100， ∴≥100，∴2n≥101，∴n≥7. 即至少需7秒细菌将病毒全部杀死． 答案：7 授课提示：对应学生用书第31页 　利用等比数列的前n项和公式解决有关几何问题 等比数列的前n项和公式为Sn＝ [例1]　如图，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，再作新三角形的内切圆．如此下去，求前n个内切圆的面积和． 分析：可以利用数列表示各个内切圆的面积．根据条件可知，内切圆的半径构成一个等比数列． [解]　设第n个正三角形的内切圆的半径为an，因为从第2个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的，所以每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的. 结合题意可知a1＝a tan 30°＝a，an＝an－1， 故前n个内切圆的面积和为π(a＋a＋…＋a) ＝π·a＝×＝. 　1.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1，过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________． 解析：法一：直接递推归纳：在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…， 则A5A6＝a7＝a1×q6＝2×＝. 法二：求通项：在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2， 所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…， 所以An－1An＝an＋1＝sin ·an＝an， 所以{an}是以a1＝2为首项，为公比的等比数列， 故a7＝a1×q6＝2×＝. 答案： 　利用等比数列的前n项和公式解决有关增长率问题 现实生活中有很多等比数列的模型，如银行利率、企业利率、人口增长率等．一般地，当增加(或减少)的量是一个固定的百分比时，该模型是等比数列．处理有关等比数列的实际应用题时，关键是认真分析题意，正确构造等比数列模型，再进一步利用等比数列的有关知识加以解决． [例2]　某公司一下属企业负责某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金的年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示). [解]　(1)由题意得a1＝2 000×(1＋50%