第四章4.3.2第1课时等比数列的前n项和公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等比数列的前n项和公式及推导思路．　2.会用等比数列的前n项和公式解决与等比数列前n项和有关的一些基本问题． 授课提示：对应学生用书第28页 预习教材，思考问题 问题1　等比数列的前n项和公式是什么？它是如何推导的？ 问题2　类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn? 问题3　用公式求等比数列前n项和时需注意什么问题？　　　 [预习自测] 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，公比q＝2，则S5＝(　　) A．64　　　　　　　　 B．62 C．32 D．30 解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，公比q＝2，所以a1＝＝2. 又因为Sn＝(q≠1)， 所以S5＝＝62. 答案：B 2．数列{2n-1}的前99项和为(　　) A．2100－1 B．1－2100 C．299－1 D．1－299 解析：数列{2n-1}为等比数列，首项为1，公比为2， 故其前99项和为S99＝＝299－1. 答案：C 3．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为________． 解析：由S5＝＝44，得a1＝4. 答案：4 4．已知{an}是正项等比数列，a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，则该数列的前5项和等于________． 解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)， 因为a1＋a2＝3，a3＋a4＝12，即 解得a1＝1，q＝2， 所以数列{an}的前5项和为S5＝＝31. 答案：31 授课提示：对应学生用书第28页 　等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Sn＝ Sn＝ [例1]　在等比数列{an}中， (1)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (2)S2＝30，S3＝155，求Sn； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q. 分析：对于第(1)小题，将已知条件转化，求出首项和公比，代入求和公式．对于第(2)小题，可以直接利用前n项和的定义写出已知条件，从而避免立方差公式记忆不清或者使用等比数列前n项和公式不注重分类讨论带来的隐患．对于第(3)小题，可以根据等比数列的性质构造一元二次方程，求出a1和an的值，由前n项和公式求出公比q. [解]　设等比数列{an}的公比为q. (1)法一：由题意，知 解得 从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8， 从而S5＝＝. (2)由题意，知 解得或 从而Sn＝×5n+1－或Sn＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根， 从而或 又Sn＝＝126， 所以q＝2或. 　等比数列前n项和运算的技巧 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 2．对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． 3．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 　1.在等比数列{an}中， (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 解：(1)由Sn＝， 得11＝， ∴q＝－2. 又由an＝a1qn-1，得16＝(－2)n-1， ∴n＝5. (2)若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意， ∴q≠1， ∴S4＝＝1， S8＝＝17. 两式相除得＝17＝1＋q4， ∴q＝2或q＝－2， ∴a1＝或a1＝－， ∴an＝·2n-1或an＝－·(－2)n-1. 　等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q； (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). [例2]　(1)在等比数列{an}中，若S2＝7，S6＝91，则S4＝________； (2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a