第四章4.3.1第2课时等比数列的性质及应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 [学习目标]　1.掌握等比数列通项公式的推广，并能运用公式解决相关问题．　2.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质．能够运用等比数列的性质解决有关问题． 授课提示：对应学生用书第24页 预习教材，思考问题 问题1　在等比数列{an}中，能否用第m项am和公比q表示an? 问题2　将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是公比为2q的等比数列吗？ 问题3　已知无穷等比数列{an}，取其奇数项不改变各项的相对位置组成一个新数列，则此数列也是等比数列吗？ 问题4　在等比数列{an}中，首项a1＝，公比q＝，则数列{an}的单调性如何？　　　 [预习自测] 1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　) A．－　　　　　　　 B．－2 C．2 D． 解析：∵{an}为等比数列，∴a5＝a2·q3， ∴q3＝＝，∴q＝. 答案：D 2．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 解析：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列． 答案：C 3．某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成________个． 解析：某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，共分裂8次，所以经过2小时，这种细菌由1个繁殖成28＝256(个). 答案：256 4．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是________． 解析：奇数项之积为2，偶数项之积为64， 得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64， 则＝q5＝32， 则q＝2. 答案：2 授课提示：对应学生用书第25页 　等比数列通项公式的推广 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn-1① ＝amqn－m② ＝·qn，③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． [例1]　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an. 分析：利用等比数列通项公式表示出am，an，再解方程． [解]　由题意，得am＝a1qm-1，① an＝a1qn-1.② ②的两边分别除以①的两边，得＝qn－m， 所以an＝amqn－m. 　等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示． 　1.在等比数列{an}中， (1)若a4＝3，a7＝12，求an； (2)已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9.若an＝1，求n的值． 解：设等比数列{an}的公比为q. (1)法一：因为所以 两式相除，得q3＝4，所以q＝， 所以a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝3×4. 法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝＝4，q＝， 所以an＝a4qn-4＝3×()n-4＝3×4. (2)法一：因为 两式相除，得q＝，从而a1＝32. 又因为an＝1，所以1＝32×，解得n＝6. 法二：因为a3＋a6＝(a2＋a5)q，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn-1＝32×＝1，得n＝6. 　三个数或四个数成等比数列的设法 1．若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q≠0). 2．若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，，aq，aq3(q≠0)(第二种设法中，公比为q2). [例2]　已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列出方程求解． [解析]　依题意，设原来的三个数依次为，a，aq. 因为·a·aq＝512，所以a＝8. 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列， 所以＋(aq－2)＝2a， 所以2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝， 所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4.因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， 所以原来的三个数的和等于28. [答案]　28 　三个数或四个数成等比数列的设法，解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，掌握三个数或四个数成等比数列的设元技巧． 　2.在四个正数中，前三个数成等差数列，和为48，后三个数成等比数列，积为8 000，求这四个数． 解：设前