第四章4.3.1第1课时等比数列的概念-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 [学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念．　2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．　3.体会等比数列与指数函数的关系． 授课提示：对应学生用书第22页 预习教材，思考问题 问题1　若一个数列从第2项起，每一项与前一项的比为常数，则该数列就是等比数列吗？ 问题2　能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ 问题3　任意两个非零常数a，b都有等比中项吗？若有，有几个？ 问题4　等比数列的通项公式是什么？如何推导的？　　　 [预习自测] 1．下列数列为等比数列的是(　　) ①1，－2，4，－8； ②－，2，－2，4； ③x，x2，x3，x4； ④a-1，a-2，a-3，a-4 A．①②　　　　　　　 B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 解析：由等比数列的定义，知①②④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列． 答案：C 2．实数数列1，a，16为等比数列，则a＝(　　) A．－4 B．4 C．2 D．－4或4 解析：由等比中项性质得a2＝1×16＝16，所以a＝±4. 答案：D 3．在等比数列{an}中，若a2＝4，a5＝－32，则公比q应为________． 解析：法一：a2＝a1q＝4，① a5＝a1q4＝－32，② 所以②÷①得q3＝－8，所以q＝－2. 法二：因为＝q3＝－8，所以q＝－2. 答案：－2 4．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝________． 解析：∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：±6 授课提示：对应学生用书第22页 　等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). [例1]　在数列{an}中，若an＋1＝3an，a1＝2，则a2为(　　) A．3　　　　　　　　 B．6 C．5 D．4 分析：理解等比数列的定义，利用定义解决问题． [解析]　因为an＋1＝3an，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则＝3，a2＝3×2＝6. [答案]　B 　理解等比数列定义的代数特征：＝q. 　1.判断对错． (1)若一个数列从第2项起，每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) 解析：(1)这个常数是个非零的定值；(2)首项、公比均不能为零；(3)常数列0，0，0，…不是等比数列． 答案：(1)×　(2)×　(3)× 　等比中项的概念 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． [例2]　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________． 分析：利用等比中项的定义或者利用等比数列的定义解决问题． [解析]　因为b是－1，－9的等比中项， 所以b2＝9，b＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3. 而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9. [答案]　－3　9 　1.由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项． 2．在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． 3．a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0). 　2.在等比数列{an}中，a1＝－16，a4＝8，则a7＝(　　) A．－4　　　　　　　 B．±4 C．－2 D．±2 解析：因为a4是a1与a7的等比中项， 所以a＝a1a7，即64＝－16a7，故a7＝－4. 答案：A 　等比数列的通项公式 　若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1． [例3]　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1. 分析：利用等比数列的通项公式解决，注意方程思想的应用． [解]　设等比数列{an}的公比为q， (1)因为a4＝a1q3，所以8＝q3，所以q＝2，所以an＝a1qn-1＝2n-1. (2)a1＝＝＝5，故a1＝5. 　等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个．在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 　3.在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求