第四章4.2.2第2课时等差数列的前n项和公式的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第2课时　等差数列的前n项和公式的应用 [学习目标]　1.能比较熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式，并能解决实际问题．　2.会求与等差数列前n项和相关的一些简单的最值问题． 授课提示：对应学生用书第18页 预习教材，思考问题 问题1　等差数列前n项和公式与函数有什么联系？ 问题2　解决等差数列前n项和的最值问题的基本思路是什么？　　　 [预习自测] 1．若在数列{an}中，an＝43－3n，则Sn取最大值时，n＝(　　) A.13　　　　　　　 B．14 C．15 D．14或15 解析：令an＝43－3n≥0，得n≤，又n∈N*，∴n＝14. 答案：B 2．已知数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，则(　　) A．当d<0时，Sn一定存在最大值 B．当d>0时，Sn一定存在最大值 C．当Sn存在最大值时，d<0 D．当Sn存在最大值时，d>0 解析：对于A，因为d＜0，所以数列{an}递减，故Sn一定存在最大值，故A正确；对于B，因为d＞0，所以数列{an}递增，故Sn不存在最大值，故B错误；对于C，D，当d＝0，a1＜0时，Sn存在最大值S1，故C，D错误． 答案：A 3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是________． 解析：由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24. 答案：24 4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为________斤． 解析：设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}， 则有a1＝4，a5＝2， 所以a1＋a5＝6， 数列{an}的前5项和为S5＝5×＝5×3＝15，即该金箠共重15斤． 答案：15 授课提示：对应学生用书第18页 　等差数列的前n项和公式的实际应用 等差数列的前n项和公式的实际应用其实质是将实际问题转化为数学问题，构建已知与待求之间的内在联系． [例1]　我国数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个老人有九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的年龄开始排列，后面一个儿子比前面一个儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？(　　) A．38　　　　　　　　 B．35 C．32 D．29 分析：由题意，可以将九个儿子的年龄看成以老大的年龄a1为首项，－3为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式列出方程，即可求出结果． [解析]　由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄a1为首项，－3为公差的等差数列，所以S9＝9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35. [答案]　B 　1.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． 2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. 　1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　) A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块 解析：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列．由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块). 答案：C 　等差数列前n项和的最值问题 1．在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． 2．Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． [例2]　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值． 分析：解答本题可用多种方法，可以根据S8＝S18，找出a1与d的关系，转化为Sn关于n的二次函数求值的问题，也可以利用通项公式找到项的