第四章4.2.2第1课时等差数列的前n项和公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.了解等差数列的前n项和公式的推导过程．　2.掌握等差数列的前n项和公式．　3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个． 授课提示：对应学生用书第15页 预习教材，思考问题 问题1　200多年前高斯在解决问题“1＋2＋3＋…＋100＝？”利用了什么思想方法？ 问题2　在“高斯求和”方法的基础上，能否求等差数列的前 n项和？需要注意什么？ 问题3　等差数列的前n项和公式是什么？如何推导？　　　 [预习自测] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝5，n＝10，则前n项的和Sn＝(　　) A.245　　　　　　　　 B．250 C.235 D．240 解析：Sn＝na1＋d＝20＋×5＝245. 答案：A 2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a9＝10，则S9＝(　　) A.45 B．52 C.108 D．54 解析：S9＝＝＝54. 答案：D 3．已知数列{an}是等差数列，且a3＋a9＝4，那么数列{an}的前11项和等于________． 解析：∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a9＝a1＋a11＝4.∴S11＝＝×4＝22. 答案：22 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则S12＝________． 解析：法一：设等差数列{an}的公差为d， 由S4＝8，S8＝20，得 解得 ∴S12＝12a1＋d＝12×＋×＝36. 法二：∵数列{an}为等差数列， ∴S4，S8－S4，S12－S8成等差数列， ∴2(S8－S4)＝S4＋S12－S8，解得S12＝36. 答案：36 授课提示：对应学生用书第15页 　等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [例1]　在公差为d的等差数列{an}中． (1)a1＝4，S8＝172，求a8和d； (2)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n； (3)a3＋a15＝40，求S17； (4)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，求n. 分析：(1)利用前n项和公式求得a8，再利用通项公式求公差d. (2)利用已知条件建立关于a1与n的方程组求解． (3)利用等差数列的性质及前n项和公式求解． (4)Sn－Sn－4为末4项和，S4为前4项和，倒序相加可得 4(a1＋an). [解]　(1)由已知，得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. (2)由 得 解方程组得或 (3)S17＝＝＝＝340. (4)Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40. 两式相加得4(a1＋an)＝120， ∴a1＋an＝30，又Sn＝＝15n＝210，∴n＝14. 　1.利用基本量求值 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． 2．结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． 3．倒序相加法是数列求和的一种方法，等差数列{an}的前n项和公式就是利用这个方法推导的． 　1.在公差为d的等差数列{an}中． (1)a1＝1，a4＝7，求S9； (2)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d； (3)a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝45，求S9. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7， 所以d＝2. 故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81. (2)由题意得，a15＝＋(15－1)d＝－， 所以d＝－. 又Sn＝na1＋d＝－5， 即n＋×＝－5， 解得n＝15，n＝－4(舍)， 所以n＝15，d＝－. (3)因为在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45， 所以a5＝9. 所以S9＝＝9a5＝81. 　等差数列的前n项和公式的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…仍构成等差数列，且公差为m2d． 3．等差数列的前n项和Sn，可以设为Sn＝An2＋Bn. [例2]　在等