第四章4.2.1第2课时等差数列的性质及应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及应用 [学习目标]　1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，并能简单应用．　2.运用等差数列的概念和通项公式，解决简单的数学问题与实际问题． 授课提示：对应学生用书第12页 预习教材，思考问题 问题1　在等差数列{an}中，能否用第m项am和公差d表示an? 问题2　若数列{an}，{bn}是等差数列，那么数列{λan＋kbn}(λ，k为常数)是否为等差数列？若是，公差是多少？ 问题3　在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an与ap＋aq有什么关系？　　　 [预习自测] 1．在等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d＝(　　) A.2　　　　　　　 B．20 C.100 D．不确定 解析：∵a100－a90＝10d， ∴10d＝20，即d＝2. 答案：A 2．我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完．则该女子第11天织布(　　) A.尺 B．尺 C.尺 D．尺 解析：设女子每天的织布数构成的数列为{an}，由题设可知{an}为等差数列，且a1＝5，a30＝1，故公差d＝＝－， 故a11＝a1＋(11－1)×＝5－＝. 答案：B 3．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14＝________． 解析：由题意，等差数列{an}公差d＝＝＝3. ∴a14＝a8＋6d＝15＋18＝33. 答案：33 4．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________． 解析：由等差数列的性质，得a7＋a9＝a4＋a12＝16， 又∵a4＝1， ∴a12＝15. 答案：15 授课提示：对应学生用书第12页 　等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 1．an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， 2．an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， 3．d＝(m，n∈N*，且m≠n). 其中，1.的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． 2．可以由等差数列中任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. 3．可以由等差数列任两项求公差． [例1]　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 分析：利用等差数列通项公式的推广直接求解即可． [解]　法一：(利用an＝am＋(n－m)d) 设等差数列 {an}的公差为d， 则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d， 所以d＝＝＝， 所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24. 法二：(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项， 所以a60＝a15＋3d，得d＝4，所以a75＝a60＋d＝24. 　灵活利用等差数列的性质，可以减少运算量．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． 　1.已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________． 解析：法一：∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d， 则d＝＝＝2， ∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8， ∴b8＝2×8－8＝8. 法二：由＝＝d， 得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8. 答案：8 　等差数列中对称设项法的应用 　等差数列的设项方法和技巧 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． 2．当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项……时，可同理设出． 3．当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项……时，可同理设出． [例2]　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 分析：此题常规解法是先求出首项和公差，进而求出这个等差数列，计算量较大．已知等差数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d；当已知等差数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，可减少计算量． [解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得所以这三个数为4，3，2. (2)设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1