第二章2.1.1倾斜角与斜率-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程． 解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期． 解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展． 直线和圆的方程是解析几何知识的基本内容．高考中对直线的考查既包括倾斜角、斜率、直线方程的形式，两直线的平行和垂直问题，也包括两点间的距离、点到直线的距离、两平行直线的距离等问题，对圆的考查包括圆的标准方程、一般方程、弦长问题，也包括直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等问题．每年高考直线和圆的方程的考查有1～2个小题，也会在大题中的一部分中考查，重点考查学生的数学运算能力． 2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．　2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．　3.掌握过两点的直线斜率的计算公式． 授课提示：对应学生用书第49页 预习教材，思考问题 问题1　直线的倾斜角是如何定义的？它的取值范围如何？ 问题2　直线的斜率是如何定义的？直线的斜率一定存在吗？ 问题3　若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线都有倾斜角吗？　　　 [预习自测] 1．下列说法正确的是(　　) A.一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C.和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 解析：对于A，一条直线向上的方向和x轴正方向之间所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}，B错误； 对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，C错误； 对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如倾斜角α＝90°时，斜率不存在，D正确． 答案：D 2．直线x＝tan 45°的倾斜角为(　　) A.0°　　　　　　 B．45° C.90° D．不存在 解析：直线x＝tan 45°＝1，知直线垂直于x轴，所以倾斜角为90°. 答案：C 3．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为__________． 解析：由倾斜角的定义，可知l的倾斜角为90°＋45°＝135°. 答案：135° 4．在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图所示，则直线AB的倾斜角为__________，斜率为__________． 解析：由倾斜角和斜率定义可知，倾斜角为90°－60°＝30°，斜率k＝tan 30°＝. 答案：30°　 授课提示：对应学生用书第49页 　直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 示意图如图： 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．特别地，当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为90°． [例1]　设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，有下列四个值：①α＋45°；②α＋135°；③α－45°；④135°－α.则直线l1的倾斜角可能的取值有(　　) A.①②　　 B．②③　　　 C．③④　　　 D．①④ 分析：注意定义中的三个条件：①直线向上的方向．②x轴正向．③小于平角的角． [解析]　直线l绕点A顺时针旋转45°后得直线l1，当α≥45°时，直线l1的倾斜角为α－45°；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°－(45°－α)＝135°＋α. [答案]　B 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 1．方法：结合图形，利用定义求角． 2．两点注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°； (2)注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°<α<90°，α＝90°，90°<α<180°. 　1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜