第二章2.3.1两条直线的交点坐标-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 [学习目标]　1.理解两条直线的位置关系．　2.会用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 授课提示：对应学生用书第64页 预习教材，思考问题 问题1　如何通过两条直线的方程确定两条直线的交点坐标？ 问题2　两条直线的方程组的解满足什么条件时，两条直线平行、重合？　　　 [预习自测] 1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标为(　　) A．{1，2}　　　　　　 B．(1，2) C．(2，1) D．{x＝1，y＝2} 解析：由得交点坐标为(1，2). 答案：B 2．两条直线l1：x－y＋1＝0和l2：x＋y－5＝0的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．重合 D．不确定 解析：由得方程组有唯一解，所以直线l1和l2相交． 答案：B 3．直线l1：x－2＝0与直线l2：3x＋2y－4＝0的交点坐标为__________． 解析：由 得所以直线l1和l2的交点坐标为(2，－1). 答案：(2，－1) 4．直线l1：3x－2y－1＝0与直线l2：6x－4y－2＝0的位置关系为__________． 解析：由有无数个解，因此直线l1与直线l2重合． 答案：重合 授课提示：对应学生用书第64页 　两条直线的位置关系 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标是方程组的解．解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； 若方程组有无数个解，则两条直线重合． 即两条直线的位置关系为：(1)相交，(2)平行，(3)重合． [例1]　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 分析：联立方程组，由解的情况确定两直线的位置关系；若方程组有唯一解，此解就是交点坐标． [解]　(1)解方程组得 所以l1与l2相交，交点是M(－1，－1). (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2. (3)解方程组 ①×2得2x－2y＋2＝0. 因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 　1.两条直线相交的判定方法 法一：联立直线方程，解方程组，若有一解，则两直线相交． 法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 2．两条直线平行的判定方法 联立直线方程，解方程组，此方程组无解． 3．两条直线重合的判定方法 联立直线方程，解方程组，此方程组有无数个解． 4．拓展：要理解掌握两直线位置关系与两直线方程的系数的关系，即： l1与l2平行⇔(斜率k存在)⇔＝≠(A2B2C2≠0)⇔ l1与l2重合⇔(斜率k存在)⇔＝＝(A2B2C2≠0)⇔ l1与l2相交⇔k1≠k2(斜率k存在)⇔≠(A2B2≠0)⇔A1B2≠A2B1. 特别地，l1⊥l2⇔k1k2＝－1(斜率k存在)⇔A1A2＋B1B2＝0. 　1.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交． 解：当l1∥l2(或重合)时： A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)·m＝0，解得m＝3，或m＝－1. (1)当m＝3时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，所以l1与l2重合． (2)当m＝－1时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，所以l1∥l2. (3)当l1⊥l2时，A1A2＋B1B2＝0，m－2＋3m＝0，即m＝. (4)当m≠3且m≠－1时，l1与l2相交． 　两条直线的交点坐标 两条直线方程联立的方程组有唯一解，此解对应点的坐标就是这两条直线的交点坐标． [例2]　(1)求两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标； (2)三条直线ax＋2y＋7＝0，4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值． 分析：(1)联立方程组求此方程组的解，即可得两直线交点坐标．(2)联立方程4x＋y＝14和2x－3y＝14，求出两直线交点坐标，再代入直线方程ax＋2y＋7＝0求解． [解]　(1)联立方程组 解得 所以两直线的交点坐标为. (2)解方程组得 所以两条直线的交点坐标为(4，－2). 由题意知点(4，－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4，－2)代入，得a×4＋2×(－2)＋7＝0