第二章2.2.1直线的点斜式方程-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1.根据确定直线位置的要素，探究直线的点斜式方程．　2.掌握直线方程的点斜式与斜截式方程．　3.了解斜截式方程与一次函数的关系． 授课提示：对应学生用书第56页 预习教材，思考问题 问题1　直线的点斜式和斜截式方程适用的范围是什么？ 问题2　直线的截距是距离吗？ 问题3　直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2平行、垂直的条件是什么？　　　 [预习自测] 1．过点P(3，0)，斜率为2的直线方程是(　　) A．y＝2x－3　　　　 B．y＝2x＋3 C．y＝2(x＋3) D．y＝2(x－3) 解析：由点斜式方程得该直线的方程为y＝2(x－3). 答案：D 2．已知直线的斜率为－1，在y轴上的截距为1，则此直线的方程为(　　) A．y＝x＋1 B．y＝－x＋1 C．y＝－x－1 D．y＝x－1 解析：由斜截式方程得该直线的方程为y＝－x＋1. 答案：B 3．已知直线的点斜式方程是y－2＝(x＋1)，那么此直线的斜率是__________． 答案： 4．已知直线的斜截式方程是y＝x＋，那么此直线在y轴上的截距是__________． 答案： 授课提示：对应学生用书第56页 　直线的点斜式方程 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． [例1]　根据条件写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点(2，5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3，4)逆时针旋转90°后得到的直线l； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行． 分析：已知斜率和直线上一点，由点斜式方程可以写出直线的方程． [解]　(1)因为直线的倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1.又直线过点(2，5)，所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 又点P(3，4)在直线l上，由点斜式方程知， 直线l的方程为y－4＝－(x－3). (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1. 　求直线的点斜式方程的一般步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0). 在求直线方程的时候会用到线段中点的坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，若线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 　1.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝45°，∠B＝45°，求： (1)直线AB的方程； (2)直线AC和BC的方程． 解：(1)因为A(1，1)，B(5，1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1. (2)由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1. 又直线AC过点A(1，1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. 同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1. 又直线BC过点B(5，1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y－1＝－x＋5. 　直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样，方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．其中，k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距． [例2]　直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 分析：已知斜率和截距，由斜截式方程可以写出直线的方程． [解]　(1)由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. (2)在直线y＝3x－3中，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1，则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝×|1|×|－3|＝. 　直线的斜截式方程的注意点 1．由直线的斜截式方程的推导过程可以看出，点P0(x0，y0)若为直线l与y轴的交点，得到的点斜式方程都为斜截式方程，因此斜截式方程为点斜式方程的特殊情况． 2．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，同理，直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为此直线的横截距．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距． 3．由直线方程的斜截式可得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x－1的斜率为2，纵截距为－1. 4．斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的