第一章1.1.1第二课时共线向量与共面向量-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　共线向量与共面向量 [学习目标]　1.理解空间向量共面的定义．　2.掌握空间向量共线、共面的充要条件，并能解决简单的三点共线、四点共面问题． 授课提示：对应学生用书第6页 预习教材，思考问题 问题1　空间向量共线的充要条件和平面向量有区别吗？为什么？ 问题2　直线的方向向量和共面向量是如何定义的？ 问题3　空间向量共面的充要条件是什么？ 问题4　类比三点共线的条件，可得到四点共面的条件是什么？　　　 [预习自测] 1．已知空间任意两个向量a，b，则这两个向量一定是(　　) A.共线向量 B.共面向量 C.不共线向量 D.共面但一定不共线 解析：由空间任意两个向量共面得B正确． 答案：B 2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　) A.＋＝ B.－＝ C.＝ D.||＝|| 解析：∵＝，∴，共线．又，有公共点B，∴A，B，C三点共线． 答案：C 3．设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2.若a，b共线，则k的值为________． 解析：由题意ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， ∴∴k＝±1. 答案：±1 4．在正方体ABCD­A′B′C′D′中，关于向量，，，下列结论正确的是________(填序号). ①是模相等的向量； ②有相同的起点； ③是共面向量； ④是不共面向量． 解析：如图所示，因为ABCD­A′B′C′D′是正方体，所以||＝||＝||，故①正确． 因为＝，，，共面， 所以，，共面，故③正确． 答案：①③ 授课提示：对应学生用书第6页 　空间共线向量 1．空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取 非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定． [例1]　如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 分析：判断与是否共线，即判断是否存在实数λ，使＝λ. [解]　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋＝＋＋. 又＝＋＋＋ ＝－＋－－， ∴2＝＋＋－＋－－＝，即＝2.∴与共线． 　利用空间向量共线的充要条件可解决的主要问题 1．判断两向量是否共线：判断两向量a，b(b≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a＝λb. 2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若a∥b，则a＝λb(λ∈R)”． 3．判断或证明空间中的三点(如P，A，B)是否共线： (1)考查是否存在实数λ，使＝λ； (2)考查对空间任意一点O，是否有＝＋t； (3)考查对空间任意一点O，是否有＝x＋y(x＋y＝1). 　1.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝a，＝b，＝c. 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b，＝(－) ＝(＋－)＝a＋b－c. 所以＝－＝a－b－c＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝. 因为与有公共点E，所以E，F，B三点共线． 　空间共面向量 1．共面向量： 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． [例2]　已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若点M满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 分析：(1)根据向量共面的充要条件，即判断是否存在＝x＋y. (2)由(1)的结论，即可判断． [解]　(1)∵＋＋＝3， ∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋＝－－， ∴向量，，共面． (2)由(1)知向量，，共面， 又，，过同一点M，且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内． 　证明空间三向量共面或四点共面的方法 1．证明向量，，共面的方法：＝x＋y，则，，共面． 2．证明点P在平面ABC内(即点P，A，B，C共面)的方法： (1)若＝x＋y，则点P在平面ABC内； (2)若对空间任意一点O，有＝＋x＋y，则点P在平面A