第一章1.4.1第三课时空间中直线、平面的垂直-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第三课时　空间中直线、平面的垂直 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．　 2.能用向量方法判定或证明空间直线、平面间的垂直关系. 授课提示：对应学生用书第33页 预习教材，思考问题 问题1　空间直线、平面垂直的向量表示是什么？ 问题2　用向量解决空间线面垂直问题的一般步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m).若l1⊥l2，则m＝(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C．　　　　 D．3 解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝1×(－2)＋2×3－2m＝0， 解得m＝2. 答案：B 2．已知向量＝(2，4，x)，平面α的一个法向量n＝(1，y，3).若AB⊥α，则(　　) A．x＝6，y＝2 B．x＝2，y＝6 C．3x＋4y＋2＝0 D．4x＋3y＋2＝0 解析：因为AB⊥α，所以∥n. 由＝＝，得x＝6，y＝2. 答案：A 3．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，2，2)，b＝(x，－2，3).若α⊥β，则x＝________． 解析：由题意，得a·b＝x－4＋6＝x＋2＝0， 解得x＝－2. 答案：－2 4．直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，则|a|＝__________．若平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则直线l与平面α的位置关系__________(填“平行”或“垂直”). 解析：∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)， ∴|a|＝＝. 又∵n＝－2a, ∴a∥n， 因此l⊥α. 答案：　垂直 授课提示：对应学生用书第34页 　利用向量证明直线和直线垂直 a，b是直线l1，l2的方向向量，直线l1与直线l2垂直的充要条件是a⊥b． [例1]　已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝θ，求证：OA⊥BC. 分析：本题考查线线垂直的向量证法．根据向量的数量积运算直接求解即可． [证明]　因为·＝·(－) ＝||·||cos θ－||·||cos θ＝0， 所以⊥，即OA⊥BC. [例2]　如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在棱BC上移动．求证：无论点E在棱BC上的何处，都有PE⊥AF. 分析：只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可． [证明]　法一：A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，P(0，0，1)，B(0，1，0)，于是F. ∵E在BC上， ∴设E(m，1，0)， ∴＝(m，1，－1)， ＝. ∵·＝0，∴PE⊥AF. ∴无论点E在棱BC上何处，总有PE⊥AF. 法二：∵点E在棱BC上，可设＝λ， 于是·＝(＋＋)·(＋) ＝(＋＋λ)·(＋) ＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·)＝×(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， ∴⊥. ∴无论点E在棱BC上的何处，都有PE⊥AF. 　利用向量法证明两条直线垂直的方法 1．坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 2．基向量法：利用空间向量的加、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直． 　1.如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，BC′和CB′相交于点O，连接DO，求证：DO⊥BC′. 证明：以，，为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示． 设正方体棱长为1，则D(0，0，0)，O，B(1，1，0)，C′(0，1，1)， ＝(－1，0，1)，＝， ∴·＝－＋＝0， ∴DO⊥BC′. 　利用向量证明直线和平面垂直 a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，直线l与平面α垂直的充要条件是a∥n． [例3]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点．求证：B1E⊥平面AED1. 分析：本题主要考查线面垂直的判定．建立以DA，DC，DD1为正交基底的空间直角坐标系Dxyz，要证B1E⊥平面AED1，只需证与平面AED1的法向量n平行即可． [证明]　建立如图所示空间直角坐标系， ∴D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(1，2，1). 又E为CD的中点，∴E(0，1，0)，∴＝(－1，－1，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1). 设平面AED1的法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1， 则y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)是平面AED1的一个