第一章1.4.1第二课时空间中直线、平面的平行-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　空间中直线、平面的平行 [学习目标]　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．　 2.能用向量方法判定或证明空间直线、平面间的平行关系. 授课提示：对应学生用书第30页 预习教材，思考问题 问题1　空间直线、平面平行的向量条件是什么？ 问题2　对比平面的两种向量表达式，能写出线面平行的两种向量条件吗？ 问题3　用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．l1的方向向量v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6).若l1∥l2，则λ＝(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：∵l1∥l2， ∴存在实数k使得v2＝kv1， ∴解得λ＝k＝2. 答案：B 2．已知n1＝(1，2，x)为平面α的一个法向量，n2＝(－2，y，4)为平面β的一个法向量，且α∥β，则x－y＝(　　) A．－2 B．－4 C．2 D．4 解析：因为α∥β，所以n1∥n2，则＝＝，解得x＝－2，y＝－4，故x－y＝2. 答案：C 3．已知直线l的方向向量m＝(1，－2，3)，平面α的法向量n＝(t，t＋1，－1).若l∥α，则t＝__________． 解析：因为l∥α， 所以m⊥n，所以t－2(t＋1)－3＝0， 解得t＝－5. 答案：－5 4．已知两个平面α，β的法向量分别是n1＝(1，x，2)和n2＝(3，6，y).若α∥β，则y－x＝________． 解析： ∵α∥β，∴n1∥n2, ∴存在非零实数λ使得n1＝λn2， ∴ 解得 ∴y－x＝4. 答案：4 授课提示：对应学生用书第31页 　利用向量证明直线和直线平行 　a，b是直线l1，l2的方向向量，直线l1与直线l2平行的充要条件是a∥b． [例1]　如图，在长方体OAEB­O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且PA＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点． 求证：PQ∥RS. 分析：本题考查了利用空间向量证明线线平行．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明． [证明]　如图，建立空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2). ∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点， ∴P，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S， 于是＝＝， ∴∥. ∵R∉PQ，∴PQ∥RS. 　利用向量法证明两条直线平行的方法：两条直线的方向向量共线时，两直线平行或重合；否则两直线相交或异面． 　1.如图，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，M，N分别在线段AE，BD上，且AE＝3AM，BN＝2ND，G为BE的中点，试判断MN与GC是否平行，并利用向量方法证明你的判断． 解：MN∥GC.理由如下： 由题意，得＝＋＋＝＋＋ ＝－(＋)＋＋(－)＝－－＋＋－＝－＋， ＝＋＝－＋＝－＋， 故＝. 又，没有公共点， 故MN与GC平行． 　利用向量证明直线和平面平行 　a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量．当l⊄α时，直线l与平面α平行的充要条件是a⊥n． [例2]　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 分析：思路一：可证明与，是共面向量；思路二：可证明与平面A1BD中的是共线向量；思路三：可通过平面A1BD的法向量来证明． [证明]　法一：∵＝－＝－＝－－＋＝－， ∴，，是共面向量． 又∵MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 法二：∵＝－＝－ ＝(－)＝，∴∥. 又∵MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD. 法三：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)， 于是＝，＝(1，0，1)，＝(1，1，0). 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则得 取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1). ∵·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n. 又∵MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD. 　利用空间向量证明线面平行的方法 1．共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行． 2．共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行． 3．法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行． 　2.已知四