第一章1.3.2空间向量运算的坐标表示-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　1.掌握空间向量运算的坐标表示．　2.掌握空间两向量平行、垂直条件的坐标表示，掌握空间向量的模和夹角的坐标计算公式．　3.掌握空间两点间的距离公式． 授课提示：对应学生用书第23页 预习教材，思考问题 问题1　如何用坐标来表示空间向量的运算？ 问题2　如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？ 问题3　空间两点间的距离公式是什么？　　　 [预习自测] 1．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b＝(　　) A.(16，0，4)　　　　　　　 B.(8，－16，4) C.(8，16，4) D.(8，0，4) 解析：4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8，0，4). 答案：D 2．已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是(　　) A.(0，0，1) B．(－2，1，0) C.(1，1，2) D．(4，－1，1) 解析：a·(－2，1，0)＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥(－2，1，0). 答案：B 3．已知点A(7，－4，0)，B(4，2，－1)，则A，B两点间的距离等于________． 解析：|AB|＝＝. 答案： 4．已知向量a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，则向量a，b的夹角的大小等于________． 解析：a·b＝1，|a|＝，|b|＝，∴cos 〈a，b〉＝＝＝， ∴〈a，b〉＝60°. 答案：60° 授课提示：对应学生用书第23页 　空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，则： a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． [例1]　已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________． 分析：由向量运算的坐标表示逐步运算即得答案． [解析]　2a＋3b＝2(－1，2，1)＋3(2，0，1)＝(－2，4，2)＋(6，0，3)＝(4，4，5)， a－b＝(－1，2，1)－(2，0，1)＝(－3，2，0)， ∴(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－12＋8＝－4. [答案]　－4 [例2]　已知点A(2，－5，3)，B(6，－4，5)，＝(3，－2，5). 求：(1)点C的坐标； (2)求·的值； (3)若点P在线段AC上，且＝，求点P的坐标． 分析：设出C，P的坐标建立方程组求解． [解]　(1)设C(x1，y1，z1)，∴＝(x1－6，y1＋4，z1－5)＝(3，－2，5)， ∴ 解得∴C(9，－6，10). (2)＝(－7，1，－7)， ∴·＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－21－2－35＝－58. (3)设P(x2，y2，z2)，∴＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2，10－z2). ∵＝，即＝2， ∴ 解得∴P. 　1.空间向量的坐标运算注意以下几点： (1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标． (2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 2．已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB中点坐标. 3．关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题：已知向量坐标，准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标问题： 首先设出向量或点的坐标，然后通过已知条件建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． 　1.已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，则(a－2b)·b＝________． 解析：a－2b＝(2，－3，1)－2(2，0，3)＝(2，－3，1)－(4，0，6)＝(－2，－3，－5)， (a－2b)·b＝－2×2－3×0－5×3＝－19. 答案：－19 2．已知在空间直角坐标系中，A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5). (1)求·的值； (2)若点M满足＝＋，求点M的坐标． 解：(1)＝(－3，5，－4)，＝(1，0，－9)， ∴·＝－3＋0＋36＝33. (2)设M(x，y，z)， ∴＝(x－1，y＋2，z－4). 又＋＝＋＝， ＝＋， ∴ 解得 ∴M. 　空间向量平行、垂直条件的坐标表示及应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，则 (1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔⇔＝＝(当b与三个坐标平面都不平行时