第一章1.3.1空间直角坐标系-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系．　2.能建立适当的空间直角坐标系，并求出所给定点、向量的坐标． 授课提示：对应学生用书第19页 预习教材，思考问题 问题1　如何类比平面直角坐标系，理解空间直角坐标系？ 问题2　在空间直角坐标系中，点和向量的坐标是如何定义的？ 问题3　在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 问题4　在空间直角坐标系中，点和向量的坐标的求解步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz，则点D1的坐标为(　　) A.(0，1，1)　　　　 B．(1，0，1) C.(1，1，0) D．(1，1，1) 解析：＝＋＝j＋k＝(0，1，1). 答案：A 2．点M(－1，2，3)在坐标平面Oyz上的射影N的坐标为(　　) A.(1，2，3) B．(0，2，3) C.(－1，－2，－3) D．(0，－2，－3) 解析：设M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，B，C， ∴＝＋＋＝－i＋2j＋3k， ∴＝＋＝2j＋3k＝(0，2，3). 答案：B 3．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P(1，－2，3)，则向量的坐标为________． 解析：起点为原点的向量坐标与终点坐标相同，∴＝(1，－2，3). 答案：(1，－2，3) 4．若a＝3i＋2j－k，且{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为________． 解析：由向量坐标定义得a＝(3，2，－1). 答案：(3，2，－1) 授课提示：对应学生用书第19页 　空间直角坐标系 1．在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(如图).以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 2．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． [例1]　在空间直角坐标系Oxyz中． ①坐标向量i，j，k构成一个单位正交基底； ②x轴垂直于坐标平面Oyz； ③坐标平面Oxy垂直于坐标平面Oyz. 其中正确命题的序号是________． 分析：以O为原点，以单位正交基底{i，j，k}中基向量i，j，k的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们建立了一个空间直角坐标系Oxyz，i，j，k叫做坐标向量，x，y，z轴两两垂直，借助线面垂直判定定理可得结论． [解析]　由空间直角坐标系概念，知①正确；又知x轴、y轴、z轴两两垂直，∴x轴垂直于坐标平面Oyz，∴坐标平面Oxy垂直于坐标平面Oyz. [答案]　①②③ 　1.空间直角坐标系的三条坐标轴、三个坐标平面分别两两垂直． 2．在实际应用中，若无特别要求，不一定建立右手直角坐标系． 　1.在空间直角坐标系Oxyz中． (1)坐标平面Oxy与坐标平面Oyz的交线是________，它与坐标平面Ozx的位置关系是________； (2)三个坐标平面把空间分成________个部分． 解析：(1)三个坐标平面两两垂直，任两个坐标平面的交线(坐标轴)垂直于第三个坐标平面． (2)三个坐标平面把空间分成八个部分． 答案：(1)y轴　垂直　(2)八 　空间中点的坐标　在空间直角坐标系Oxyz中(如图)，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． [例2]　如图，在直三棱柱ABO­A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为棱A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求点D的坐标． 分析：根据直棱柱的特征及已知条件，建立以，，方向上的单位向量i，j，k为基底的空间直角坐标系Oxyz. [解]　由已知，AO⊥OB，OO1⊥AO，OO1⊥OB. 建立以，，方向上的单位向量i，j，k为基底的空间直角坐标系Oxyz， ∴＝4i，＝2j，＝4k， ∴＝＋＝＋(＋)