第五章5.4.2第二课时对称性、周期性和奇偶性的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　对称性、周期性和奇偶性的应用 [学习目标]　1.了解三角函数图象的对称性，会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)图象的对称中心坐标和对称轴方程．　2.会利用对称性、周期性、奇偶性解决与三角函数有关的综合问题． 授课提示：对应学生用书第159页 预习教材，思考问题 问题1　(1)正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由． (2)正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由． 问题2　(1)余弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由． (2)余弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由.　　　 [预习自测] 1．函数y＝cos (－x)的图象关于(　　) A．x轴对称　　　　　　 B．原点对称 C．y轴对称 D．直线x＝对称 解析：∵y＝cos (－x)＝sin x. ∴函数的图象关于原点对称． 答案：B 2．(多选)下列叙述正确的是(　　) A．y＝sin x的图象关于点P(π，0)成中心对称 B．y＝cos x的图象关于直线x＝π成轴对称 C．正、余弦函数的图象不超过直线y＝1或y＝－1所夹的范围 D．余弦曲线可以由正弦曲线向左平移个单位长度得到 解析：A、B、C都正确， 对于D，正弦曲线y＝sin x，向左平移个单位长度，得到y＝sin (x＋)＝－cos x，所以D错误． 答案：ABC 3．正弦函数图象的对称中心为________，对称轴方程为________． 答案：(kπ，0)(k∈Z)　x＝＋kπ(k∈Z) 4．余弦函数图象的对称中心为________，对称轴方程为________． 答案：(＋kπ，0)(k∈Z)　x＝kπ(k∈Z) 授课提示：对应学生用书第159页 　正弦函数、余弦函数图象的对称性 解析式 y＝sin x y＝cos x 对称轴 x＝＋kπ(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) (＋kπ，0)(k∈Z) [例1]　(1)求函数y＝2sin (x－)图象的对称轴方程及对称中心坐标； (2)求函数y＝3cos (x＋)图象的对称轴方程及对称中心坐标． 分析：(1)令z＝x－，得y＝2sin z，再利用正弦曲线的对称性，从而解决问题． (2)令z＝x＋，得y＝3cos z，再利用余弦曲线的对称性，从而解决问题． [解]　(1)令z＝x－，得y＝2sin z，由z＝＋kπ(k∈Z)，得x－＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝π＋kπ(k∈Z).由x－＝z＝kπ(k∈Z)，得x＝＋kπ(k∈Z)， 所以函数y＝2sin (x－)图象的对称轴方程为x＝π＋kπ(k∈Z)，对称中心坐标为(＋kπ，0)(k∈Z). (2)令z＝x＋，得y＝3cos z， 由z＝kπ(k∈Z)，得x＋＝kπ(k∈Z)， 解得x＝－＋2kπ(k∈Z). 由z＝＋kπ(k∈Z)，得x＋＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝＋2kπ(k∈Z). 所以函数y＝3cos (x＋)图象的对称轴方程为x＝－＋2kπ(k∈Z)，对称中心坐标为(＋2kπ，0)(k∈Z). 　1.正、余弦函数的图象都是中心对称图形，对称中心有无数个，它们是图象与x轴的交点． 2．正、余弦函数的图象都是轴对称图形，对称轴有无数条，它们分别是过图象最高点或最低点且垂直于x轴的直线． 3．求三角函数图象对称轴和对称中心的方法 对于函数y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的图象的对称性，应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代入思想，令ωx＋φ等于kπ(或kπ＋)(k∈Z)，解出的x的值即为对称中心的横坐标；令ωx＋φ等于kπ＋(或kπ)(k∈Z)，解出的x的值即为对称轴与x轴交点的横坐标． 　1.(1)求函数y＝－3sin 2x图象的对称轴方程及对称中心坐标； (2)求函数y＝3cos (－x＋)图象的对称轴方程及对称中心坐标． 解：(1)令2x＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z). 令2x＝kπ(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)， 所以函数y＝－3sin 2x图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)， 对称中心坐标为(，0)(k∈Z). (2)y＝3cos (－x＋)＝3cos (x－). 令x－＝kπ(k∈Z)，解得x＝＋kπ(k∈Z). 令x－＝＋kπ(k∈Z)， 解得x＝＋kπ(k∈Z)， 所以函数y＝3cos (－x＋)图象的对称轴方程为x＝＋kπ(k∈Z)， 对称中心坐标为(＋kπ，0)(k∈Z). 　三角函数图象对称性的应用 1．正弦函数图象的对称中心