第五章5.3诱导公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．3　诱导公式 第一课时　诱导公式(1) [学习目标]　1.借助单位圆的对称性，利用三角函数的定义推导出－α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．　2.能熟练地利用诱导公式求值．　3.能利用诱导公式化简三角函数式或证明三角恒等式． 授课提示：对应学生用书第145页 预习教材，思考问题 问题1　角－α，π＋α，π－α与角α的终边有何对称关系？ 问题2　尝试从函数名称、符号两方面归纳诱导公式一～诱导公式四的共性． 问题3　请归纳用诱导公式一～诱导公式四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤.　　　 [预习自测] 1．sin (－60°)的值为(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析：sin (－60°)＝－sin 60°＝－. 答案：B 2．cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－. 答案：B 3．tan ＝________． 解析：tan ＝tan (π－)＝－tan ＝－. 答案：－ 4．化简：＝________． 解析：原式＝＝＝－1. 答案：－1 授课提示：对应学生用书第146页 　诱导公式一～四 公式 公式一 公式二 公式三 公式四 角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α 图示 与角α终 边的关系 相同 关于原点对称 关于x轴对称 关于y轴对称 公式二：sin (π＋α)＝－sin_α，cos (π＋α)＝－cos_α，tan (π＋α)＝tan_α； 公式三：sin (－α)＝－sin_α，cos (－α)＝cos_α，tan (－α)＝－tan_α； 公式四：sin (π－α)＝sin_α，cos (π－α)＝－cos_α，tan (π－α)＝－tan_α． [例1]　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式中角α是任意角．(　　) (2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y).(　　) (3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．(　　) (4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．(　　) (5)公式tan (α－π)＝tan α中，α＝不成立．(　　) 分析：利用诱导公式特点及三角函数的意义进行判断． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 　1.点P(x，y)关于x轴，y轴、坐标原点对称的点的坐标为： 2．诱导公式一、二、三、四记忆的口诀为：函数名不变，符号看象限．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin (π＋α)＝－sin α. 　1.下列等式恒成立的是(　　) A．cos (－α)＝－cos α B．sin (360°－α)＝sin α C．tan (2π－α)＝tan (π＋α) D．cos (π＋α)＝cos (π－α) 答案：D 　利用诱导公式求值 利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．一般步骤如图： [例2]　求下列三角函数值： (1)sin (－1 200°)＝__________；(2)tan 945°＝__________；(3)cos ＝__________． 分析：利用诱导公式，我们将“负角变正角”“大角变小角”，直到将所求角的三角函数转化为锐角的三角函数，再求值． [解析]　(1)sin (－1 200°)＝－sin 1 200°， ＝－sin (3×360°＋120°) ＝－sin 120°＝－sin (180°－60°)＝－sin 60° ＝－. (2)tan 945°＝tan (2×360°＋225°)＝tan 225° ＝tan (180°＋45°)＝tan 45°＝1. (3)cos ＝cos (20π－)＝cos (－) ＝cos ＝. [答案]　(1)－　(2)1　(3) [例3]　(1)已知tan α＝，求的值； (2)已知sin (π＋α)＝，α∈(－，0)，求tan (π－α)的值； (3)已知cos (－α)＝，求cos (＋α)－sin2(α－)的值． 分析：(1)已知α的正切值，可将所求三角函数式进行化简转化为齐次式，再利用弦化切进行求值． (2)利用诱导公式求出sinα，再利用诱导公式及同角三角函数的关系式求值． (3)解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．注意可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [解]　(1)∵tan α＝， ∴