第五章5.2.2同角三角函数的基本关系-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．2.2　同角三角函数的基本关系 第一课时　同角三角函数的基本关系(1) [学习目标]　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．　2.能熟练地用同角三角函数的基本关系求值． 授课提示：对应学生用书第140页 预习教材，思考问题 问题1　如何用三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系？ 问题2　用同角三角函数的平方关系求值时，开方涉及正负号，如何取舍？ 问题3　已知一个角的正弦和余弦值求正切值，需要考虑角的象限吗？　　　 [预习自测] 1．若sin α＝－，且α为第四象限角，则cos α的值为(　　) A．　　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析：∵α是第四象限角，∴cos α＝＝. 答案：A 2．若cosα＝－，且α为第二象限角，则tan α的值为(　　) A．　　 B．－　　　 C．　　　 D．－ 解析：cos α＝－，且α为第二象限角，则sin α＝， ∴tan α＝－. 答案：D 3．已知＝3，则tan α＝________． 解析：tan α＝＝3. 答案：3 4．对α≠kπ＋，k∈Z，cos α·tan α＝________． 解析：cos α·tan α＝cos α·＝sin α. 答案：sin α 授课提示：对应学生用书第141页 　同角三角函数的基本关系 基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 ＝tan_α(α≠kπ＋，k∈Z) 同一角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [例1]　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　) (2)对任意角α，sinα＝cos α·tan α都成立．(　　) (3)sin2＋cos2＝1.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 　1.“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立．关系式中的角可以是具体的数值，可以是变量，也可以是单项式(或多项式)表示的角．如：sin250°＋cos250°＝1，sin22α＋cos22α＝1，sin2(α＋)＋cos2(α＋)＝1，tan＝. 2．关系式成立的条件： 关系式sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R都成立； 关系式＝tan α仅在α≠kπ＋(k∈Z)时成立，该关系式实现了弦切互化． 　1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　) (3)若α≠kπ＋，k∈Z，则sin α＝cos αtan α恒成立．(　　) (4)＝cos80°.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　利用同角三角函数的基本关系求值 1．利用同角三角函数的基本关系，知道一个角α的任何一个三角函数值，就可以求出α其余两个三角函数值．简称“知一求二”． 2．同角三角函数的关系式的常见等价变形 (1)sin2α＝1－cos2α，sinα＝±； (2)cos2α＝1－sin2α，cosα＝±； (3)sinα＝cos_α·tan_α，cos α＝． (α≠kπ＋，k∈Z且α≠kπ，k∈Z) [例2]　(1)已知sin α＝－，且α为第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)已知cos α＝，求sin α，tan α的值； (3)已知tan α＝，且α∈(π，π)，求sin α的值． 分析：(1)先利用平方关系求cos α的值，再利用商数关系求tan α的值． (2)利用平方关系求sin α的值时，由于角α的象限不确定，故需要分情况讨论． (3)利用平方关系及商数关系，构造方程组求值． [解]　(1)由平方关系可知，cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝， ∴cosα＝±. 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－. 由商数关系可知tan α＝＝＝. (2)∵cos α＝，∴α是第一或第四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝＝＝， tan α＝＝； 当α是第四象限角时， sin α＝－＝－＝－， tanα＝＝－. (3)∵α∈(π，π)，∴sin α<0.由tan α＝＝，sin2α＋cos2α＝1， 得sinα＝－. 　已知角的一个三角函数值求该角其他三角函数值的常用方法 1．若已知sin α＝m，可以先应用cos α＝± 求得cosα的值，再由tan α＝求得tan α的值． 2．若已知cos α＝m，可以先应用sin α＝±求得sinα的值，再由tan α＝求得tan α的值． 3．若已知tan α＝m，可以先应用tan α＝＝m⇒sin α＝m co