第五章5.2.1三角函数的概念-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 第一课时　三角函数的概念(1) [学习目标]　1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．　2.理解三角函数的概念． 授课提示：对应学生用书第136页 预习教材，思考问题 问题1　单位圆是如何定义的？如何利用单位圆来研究一个角的三角函数值？ 问题2　角α的终边与非单位圆的交点的纵坐标是否是角α的正弦？ 问题3　终边落在y轴上的角的正切函数值是0吗？　　　 [预习自测] 1．若角α的终边经过单位圆上一点P(，－)，则cos α的值是(　　) A．－　 B．　　 C．－　　 D．－ 解析：由三角函数定义得cos α＝x＝. 答案：B 2．如图，在单位圆中，角的正弦值为(　　) A．　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：与单位圆的交点坐标为(－，－)， ∴sin ＝－. 答案：C 授课提示：对应学生用书第136页 　三角函数的概念 1．三角函数的定义(单位圆法) 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y). (1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α. (2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α. (3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0). 2．三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sin x，x∈R； 余弦函数y＝cos x，x∈R； 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z. [例1]　角α终边与单位圆相交于点M(，)，则cos α＋sin α的值为________． 分析：利用三角函数的定义． [解析]　由三角函数的定义得sin α＝，cos α＝， 所以cos α＋sin α＝＋＝. [答案]　 [例2]　利用定义求的正弦、余弦、正切值． 分析：求已知角的三角函数值，关键是找到角的终边与单位圆交点的坐标． [解]　如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B. 在Rt△OPB中， ∵|OP|＝1，∠POB＝， ∴|PB|＝，|OB|＝， ∴P(－，)， ∴sin ＝y＝， cos ＝x＝－， tan ＝＝－. 　1.若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). 2．利用单位圆求任意角的三角函数的一般步骤： (1)作单位圆； (2)过角的终边与单位圆的交点作x轴的垂线； (3)确定角的终边与单位圆的交点坐标； (4)利用定义求三角函数的值． 3．熟记特殊角的三角函数值． 　1.在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(，)和(－，)，那么sin αcos β＝(　　) A．－ B．－ C． D． 解析：由三角函数的定义知sin α＝，cos β＝－， 所以sin αcos β＝×(－)＝－. 答案：B 2．利用定义求的正弦、余弦和正切值． 解：如图所示，的终边与单位圆的交点为P，过P作PB⊥x轴于点B. 在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝， 则|PB|＝，|OB|＝， 则P(－，)， 所以sin ＝，cos ＝－， tan ＝－. 　三角函数定义的推广(坐标法) 　设α是一个任意角，它的终边上有任意一点P(x，y)(不与原点重合)，点P到原点的距离是r(r＝). 那么，sin α＝，cos α＝，tan α＝． [例3]　(1)已知角α的终边过点P(12，－5)，则sin α＝(　　) A．－ B． C． D．－ (2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________． 分析：利用三角函数定义的推广求解． [解析]　(1)∵x＝12，y＝－5，r＝＝13， ∴sin α＝＝－.选D. (2)∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－， ∴cos α＝＝－， ∵x>0，解得x＝， ∴P(－，－6)，∴sin α＝－， ∴tan α＝＝，则＋＝－＋＝－. [答案]　(1)D　(2)－ 　已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值，可先根据三角形相似将这一问题转化到单位圆上，再由定义求解．也可以利用三角函数定义的推广求解，即利用公式sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＝)直接求解． 　3.已知角θ的终边过点(1，－2)，则sin θcos θ＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． 解析：∵角θ的终边过点(1，－2)， ∴x＝1，y＝－2，r＝＝， ∴cos θ＝＝， sin θ＝＝－， ∴sin θc