第五章5.1.2弧度制-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5.1.2　弧度制 [学习目标]　1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性．　2.能熟练进行弧度和角度的互化．　3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式． 授课提示：对应学生用书第132页 预习教材，思考问题 问题1　角度制与弧度制的度量单位是什么？如何定义？ 问题2　角度与弧度的换算关系是什么？ 问题3　弧度制下扇形的弧长、面积公式分别是什么？　　　 [预习自测] 1．15°化成弧度是(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析：15°＝15× rad＝ rad. 答案：C 2.化成角度是(　　) A．150° B．300° C．210° D．330° 解析：＝×180°＝300°. 答案：B 3．如果角α＝2，则α的终边在第________象限． 解析：∵<2<π，∴α是第二象限角． 答案：二 4．在单位圆中，的圆心角所对的弧长为________． 解析：单位圆半径为1，弧长为l＝αr＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第133页 　角度制与弧度制的概念 1．角度制 角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2．弧度制的相关概念 (1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)弧度制 ①定义：用弧度作为单位来度量角的单位制． ②记法：用符号rad表示，读作弧度． 如图，的长等于半径r，所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角． 3．弧度数 (1)在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|＝． 其中α的正负由α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负． (2)正角的弧度数是一个正数； 负角的弧度数是一个负数； 零角的弧度数是0． (3)弧度制确立了任意角的弧度数与实数间的一一对应关系． [例1]　在大小不同的圆中，1 rad的圆心角所对的(　　) A．弦长相等 B．弦长等于所在圆的半径 C．弧长相等 D．弧长等于所在圆的半径 分析：考查1弧度角的定义． [解析]　由弧度制的定义，1弧度的角就是所对弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径． [答案]　D 　1.已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．2 D． 解析：设此圆半径为r，则正方形边长为r，所以这段弧所对的圆心角的弧度数为α＝＝，则这段弧所对的圆周角的弧度数为. 答案：B 　角度与弧度的换算 1．角度与弧度的互化 2．特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 弧度 0 度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度 π 2π [例2]　将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 分析：利用角度制与弧度制换算公式． [解]　(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 　进行角度制与弧度制的互化的原则和方法 1．原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝()°进行换算． 2．方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝(α·)°；n°＝n·. 提醒：1.用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． 2．用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． 3．度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 　2.(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．30°化成弧度是 B．－化成度是－600° C．67°30′化成弧度是 D．化成度是288° 解析：30°化成弧度是，A正确；－化成度是－600°，B正确；67°30′是67.5°＝67.5×＝，C错误；化成度是288°，D正确． 答案：ABD 　用弧度制表示角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2kπ，k∈Z.这些角所组成的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． [例3]　把角－930°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式为(　　) A．－5π B．－－4π C．150°－6π D．－6π [解析]　－930°＝－930×＝－＝－6π. [答案]　D [例4]　用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 分析：先将角度制化为弧度制，再解决有关问题． [解]　对于