第五章5.1.1任意角-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

　　三角函数概念的发展前后经历了4 000多年，早期在天文学中应用的三角学知识可以追溯至古巴比伦年代或者更早．三角学最早的创建者是希腊数学家喜帕恰斯，被称为三角学之父．为了定量地解决天体的位置问题，他将球面三角方法引用于此，并且制作了弦表.16世纪，三角学从天文学中分离了出来，成为数学的一个独立分支，但是，这时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数.1729年欧拉研究插值的方法时用三角级数表示了函数，函数的思想成了三角学的组成部分，变量数学占据了核心地位．随着解析几何和微积分的建立，三角函数的严格解析理论建立起来． 　　三角函数的内容包括任意角和弧度制，三角函数的定义、图象、性质、同角、诱导、和差角、二倍角公式、正弦型函数等．三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上，它们在数学和其他领域中都具有重要作用． 高考对三角函数的考查，从题型题量上看，常以“两小(选择题、填空题)一大(解答题)”的方式考查．从考查内容上看，求三角函数值，探究正弦型三角函数的解析式、性质、图象及变换等以选择题、填空题为主，三角恒等变换和三角函数性质的综合常以解答题形式出现． 5．1　任意角和弧度制 5．1.1　任意角 [学习目标]　1.体会角的推广的必要性，了解任意角的概念．　2.理解两个任意角的相等和加减法的概念．　3.掌握终边相同角的关系及集合表示，并能解决简单问题． 授课提示：对应学生用书第129页 预习教材，思考问题 问题1　如何定义正角、负角、零角？ 问题2　对任意角α，β，如何定义α＋β，α－β？ 问题3　终边相同的角有何关系？　　　 [预习自测] 1．两节课中间有10分钟休息时间，这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30°　　　　　　　　　 B．－30° C．60° D．－60° 解析：10分钟的时间，分针顺时针旋转了60°. 答案：D 2．下列命题正确的是(　　) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的角一定相等 C．钝角一定是第二象限角 D．小于90°的角是锐角 解析：A选项，终边与始边重合的角是与零角终边相同的角，错误． B选项，终边和始边都相同的角是终边相同的角，不一定相等，错误． C选项，钝角的终边落在第二象限，正确． D选项，小于90°的角中包含零角和负角，错误． 答案：C 3．421°是第________象限角． 解析：421°＝360°＋61°，即421°是与61°角终边相同的角．故421°是第一象限角． 答案：一 4．在－360°～0°范围内与45°终边相同的角为________． 解析：与45°终边相同的角可写为β＝45°＋k·360°，k∈Z.令k＝－1，得β＝－315°. 答案：－315° 授课提示：对应学生用书第129页 　任意角的概念 1．角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形． 2．角的分类 按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角、零角． 3．相等的角 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成，如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. 4．角的加法、减法 (1)角的加法：设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (2)相反角的概念：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α. (3)角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α－β＝α＋(－β)，这样，角的减法可以转化为角的加法． [例1]　(1)将表的分针拨慢30分钟，则这个过程中时针转过的角度是(　　) A．10° B．15° C．30° D．－30° (2)如图(1)(2)从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________． 　 分析：角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量． [解析]　(1)分针拨慢，则时针逆时针旋转，故时针转过的角度为正数．又因为分针拨慢30分钟，时针逆时针旋转0.5个小时，所以×360°＝15°. (2)题图(1)中的角是一个正角，α＝360°＋30°＝390°.题图(2)中的角一个是负角，一个是正角，β＝－(360°－210°)＝－150°，γ＝210°－150°＝60°. [答案]　(1)B　(2)390°　－150°　60° 　1.正角、负角的引入是从正数、负数类比而来的，它们是用来表示具有相反意义的旋转量的． 2．在判断角度时，应时刻抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转方向；(2)要明确旋转角的大小；(3)要明确射线未做任何旋转时的位置；(4)要注意由