第五章5.7三角函数的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5.7　三角函数的应用 第一课时　三角函数的应用(1) [学习目标]　1.能认识三角函数模型是描述周期变化规律的重要模型．　2.了解三角函数模型在物理中的应用．　3.能阅读、理解问题情境，合理确定正弦型函数中参数的取值，初步掌握读模、识模、建模、解模的过程． 授课提示：对应学生用书第192页 预习教材，思考问题 问题1　我们是怎样用三角函数刻画匀速圆周运动的？ 问题2　你了解振子的运动原理吗？物理中常见的简谐振动有哪些？怎样用三角函数刻画？　　　 [预习自测] 1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin (2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　) A．2π s　　　　　　　 B．π s C．0.5 s D．1 s 解析：∵ω＝2π，∴T＝＝1(s). 答案：D 2．已知某简谐运动的振幅是，|φ|<，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0，)，则该简谐运动的频率和初相是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：设该简谐运动的最小正周期为T，由题意可知，A＝，32＋()2＝52，则T＝8，ω＝＝，则y＝sin (x＋φ).将点(0，)代入，得sin φ＝，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝，∴该简谐运动的频率是，初相是. 答案：C 3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin 100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A． B．50 C． D．100 解析：T＝＝. 答案：A 4．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面距离y(米)与时间x(秒)满足关系式y＝A sin (ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝5 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝3 D．ω＝，A＝5 解析：因为水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2米，A＝3，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，所以T＝15＝，所以ω＝. 答案：B 授课提示：对应学生用书第192页 　简谐运动 在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.A叫做简谐运动的振幅，简谐运动的周期是T＝，简谐运动的频率为f＝＝，其中ωx＋φ称为相位，x＝0时的相位φ称为初相． [例1]　弹簧上挂着的小球上下振动时，小球离开平衡位置的位移y(单位：cm)随时间t(单位：s)的变化曲线如图所示，则小球在开始振动(即t＝0)时离开平衡位置的位移是__________ cm. 分析：先求出曲线对应的函数解析式，再代入t＝0求值． [解析]　设曲线对应的函数解析式为f(t)＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0). 由题图可知，A＝6，T＝2(－)＝π，则ω＝2， 从而f(t)＝6sin (2t＋φ). 因为t＝是f(t)的第一个最大值点，所以2×＋φ＝，即φ＝， 所以f(t)＝6sin (2t＋)，所以f(0)＝6sin ＝3. 即小球开始振动时离开平衡位置的位移是3 cm. [答案]　3 　弹簧振子、琴弦的振动、水中浮标的上下浮动、气温的变化都属于简谐运动．简谐运动可以用y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)来描述有关的物理量． 　1.在两个弹簧上各有一个小球做上下自由振动，它们的质量分别为M1和M2.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin (2t＋)和s2＝10cos 2t确定，则当t＝时，s1与s2的大小关系是(　　) A．s1>s2　　　　　　 B．s1<s2 C．s1＝s2 D．不能确定 解析：当t＝时，s1＝5sin (＋)＝5sin ＝－5； 当t＝时，s2＝10cos ＝10×(－)＝－5，故s1＝s2. 答案：C 　交变电流 由交变电流的产生原理可知，电流i(A)随时间t(s)的变化规律可用i＝A sin (ωt＋φ)来刻画，其中表示频率，A表示振幅，φ表示初相． [例2]　电流强度i(A)随时间t(s)变化的函数i＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象如图所示，则当t＝s时，电流强度是(　　) A．－5 A　　　　　　 B．5 A C．5 A D．10 A [解析]　由题中图象知A＝10，＝－＝， ∴T＝，∴ω＝＝100π，∴i＝10sin (100πt＋φ). 又点(，10)在图象上，∴100π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<，∴φ＝， ∴i＝10sin (100πt＋)，当t＝ s时，i＝－5 A. [答案]　A 　电流随时间变化的函数最常用正弦电流(简称简谐电流)，其电流与时间的函数用i＝A sin (ωt＋φ