第五章5.6.1第二课时函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第三课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 [学习目标]　1.能够应用函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象解决相关问题．　2.掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质． 授课提示：对应学生用书第189页 预习教材，思考问题 问题1　如何根据函数图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式？ 问题2　类比y＝sin x，如何研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质？　　　 [预习自测] 1．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　) A．关于点(，0)对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点(，0)对称 D．关于直线x＝对称 解析：ω＝＝2，将x＝代入f(x)＝sin (2x＋)，得f()＝0. 答案：A 2．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω的值是(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．1 D．4 解析：∵T＝π－(－)， ∴T＝π， ∴ω＝2. 答案：A 3．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　) A． B． C． D．π 解析：f(x)＝cos x－sin x＝－(sin x－cos x)＝ －sin (x－). 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋2kπ≤x≤π＋2kπ， k∈Z. 取k＝0，得f(x)的一个减区间为[－，π]， 由f(x)在[－a，a]上是减函数， 得所以a≤. 则a的最大值是. 答案：A 4．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝__________． 解析：由题意设函数f(x)的周期为T，则＝－＝， ∴T＝，∴ω＝＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第189页 　函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 由部分图象确定解析式y＝A sin (ωx＋φ)的步骤： 第一步：定A，借助函数图象的最高点、最低点确定参数A的值． 第二步：定周期，借助函数图象及“五点法”中的“五点”确定函数的周期． 第三步：定ω，根据周期公式确定参数ω的值． 第四步：定φ，利用函数图象及“五点法”中的“五点”，建立关于φ的方程，解之即得φ的值． [例1]　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)图象的一部分，求此函数的解析式． 分析：借助“五点法”确定周期，从而求出ω. [解]　由题图可知A＝4， T＝2[－(－)]＝π，∴ω＝＝2， ∴y＝4sin (2x＋φ). ∵点(－，0)在函数图象上， ∴0＝4sin (－×2＋φ)， ∴－×2＋φ＝2kπ(k∈Z)， 解得φ＝＋2kπ(k∈Z). ∵|φ|<，∴φ＝， ∴函数的解析式为y＝4sin (2x＋). 　若设所求函数解析式为y＝A sin (ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ. 1．由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|. 2．由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω. 3．确定函数y＝A sin (ωx＋φ)中φ的值常用两种方法： (1)代入法：把图象上的一个已知点坐标代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点坐标求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上) (2)五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝； “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝； “第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π. 　1.(1)如图所示的图象的一部分表示的是下列函数中的(　　) A．y＝sin (x＋)　　　　 B．y＝sin (2x－) C．y＝cos (4x－) D．y＝cos (2x－) (2)已知函数y＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<π)的图象如图所示，则φ＝__________． 解析：(1)由题图知T＝4×(＋)＝π，∴ω＝＝2.又x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求． (2)由题图知函数y＝sin (ωx＋φ)的周期为2×(2π－)＝， ∴＝，∴ω＝. 当x＝时，y有最小值－1， ∴×＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 解得φ＝2kπ－(k∈Z). ∵－π<φ<π，∴φ＝. 答案：(1)D　(2) 　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质： 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称中心：(，0)(k∈Z) 对称轴：