第五章5.5.2第一课时半角公式、和差化积与积化和差公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5.5.2　简单的三角恒等变换 第一课时　半角公式、和差化积与积化和差公式 [学习目标]　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括能推导出积化和差、和差化积、半角公式(不要求记忆)). 授课提示：对应学生用书第179页 问题1　α与有什么关系？ 问题2　用cos α如何表示sin2，cos2，tan2？　　　 [预习自测] 1．已知cos α＝，α∈(0，π)，则sin 的值为(　　) A．±　　　　　　　 B． C．－ D．± 解析：∵cos α＝，α∈(0，π)，∴∈(0，)， sin ＝＝＝. 答案：B 2．若θ∈[，]，cos 2θ＝－，则sin θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：∵θ∈[，]， ∴sin θ＝ ＝ ＝. 答案：B 3．用和差化积公式求值： sin 75°＋sin 15°＝________． 解析：sin 75°＋sin 15°＝2sin cos ＝2sin 45°cos 30°＝2××＝. 答案： 4．若sin θ＝－，3π<θ<，则tan 的值为________． 解析：∵sin θ＝－，3π<θ<， ∴<<，cos θ＝－＝－， tan ＝－＝－＝－3. 答案：－3 授课提示：对应学生用书第179页 　半角公式 sin ＝±_； cos ＝±_； tan ＝±_＝＝．(后两个公式是教材习题结论) 以上称之为半角公式，符号由所在象限决定． [例1]　(1)求下列式子的值：sin 75°，tan 75°； (2)已知sin θ＝，且<θ<3π，求cos 和tan 的值． 分析：(1)75°是150°的半角． (2)确定的范围，从而正确使用半角公式． [解]　(1)sin 75°＝ ＝ ＝＝＝＝＝. tan 75°＝ ＝ ＝ ＝2＋. 或tan 75°＝＝＝2＋. 或tan 75°＝＝＝2＋. (2)∵sin θ＝，<θ<3π， ∴cos θ＝－＝－. ∵cosθ＝2cos2－1，∴cos2＝. 又<<，∴cos ＝－＝－＝－. tan ＝＝＝2. 　利用半角公式求值的思路 1．看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． 2．明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的取值范围，求出相应半角的取值范围． 3．选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 4．下结论：结合半角的取值范围求值． 　1.已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求sin 的值． 解：∵|cos θ|＝，<θ<3π，∴cos θ＝－，<<. ∴sin ＝－＝－. 　和差化积、积化和差 1．积化和差公式 (1)sin αcos β＝[sin_(α＋β)＋sin_(α－β)]； (2)cos αsin β＝[sin_(α＋β)－sin_(α－β)]； (3)cos αcos β＝[cos_(α＋β)＋cos_(α－β)]； (4)sin αsin β＝－[cos_(α＋β)－cos_(α－β)]． 2．和差化积公式 (1)sin θ＋sin φ＝2sin_cos_； (2)sin θ－sin φ＝2cos_sin_； (3)cos θ＋cos φ＝2cos_cos_； (4)cos θ－cos φ＝－2sin_sin_． [例2]　求值：sin 20°＋cos 50°＋sin 60°－sin 80°＝(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．1 分析：使用和差化积公式需要化为同名三角函数． [解析]　原式＝sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos (－10°)＋sin 60°－sin 80° ＝cos 10°＋sin 60°－cos 10°＝sin 60°＝. 或原式＝(sin 20°－ sin 80°)＋cos 50°＋ ＝2cos sin ＋cos 50°＋ ＝－2cos 50°sin 30°＋cos 50°＋ ＝－cos 50°＋cos 50°＋＝. [答案]　C 　利用诱导公式，将异名三角函数化为同名三角函数，便于使用和差化积公式． 　2.若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，α∈(0，π)，β∈(0，π)，则tan ＝________． 解析：∵α，β∈(0，π)， ∴sin α＋sin β>0， ∴cos β－cos α>0， 即cos β>cos α. ∵在(0，π)上，y＝cos x是减函数， ∴β<α，0<α－β<π， 由原式知：2sin cos ＝(2sin sin )， ∴t