第五章5.5.2第二课时辅助角“合一”公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　辅助角“合一”公式 [学习目标]　1.会将a sin x＋b cos x(a，b不全为零)化为只含有正(余)弦的形式．　2.能够正确选取辅助角和使用辅助角公式． 授课提示：对应学生用书第181页 问题　怎样将a sin x＋b cos x转化为sin (x＋φ)的形式呢？　　　 [预习自测] 1．y＝sin x＋cos x的最小正周期为(　　) A．2π　　　　　　　　　 B．π C． D．3π 解析：y＝sin x＋cos x＝sin x cos ＋cos x sin ＝sin (x＋)，∴最小正周期为2π. 答案：A 2．y＝sin x－cos x的最小值为(　　) A．－1 B．0 C．－2 D．－ 解析：y＝sin x－cos x＝(sin x·－cos x·) ＝(sin x cos －cos x sin ) ＝sin (x－)， ∴最小值为－. 答案：D 3．已知sin (＋α)＝，则cos α＋sin α的值为________． 解析：cos α＋sin α＝2(sin α·＋cos α·) ＝2(sin αcos ＋cos αsin )＝2sin (α＋)＝2×＝. 答案： 4.(sin 15°＋cos 15°)的值为________． 解析：(sin 15°＋cos 15°)＝·(sin 15°·＋cos 15°·)＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) ＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝2×＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第181页 　辅助角“合一”公式 a sin x＋b cos x＝(sin x＋cos x). 因为()2＋()2＝1，从而可令＝cos φ，＝sin φ，则有a sin x＋b cos x＝(sin_x_cos_φ＋cos_x_sin_φ)． 因此，我们有如下结论：a sin x＋b cos x＝·sin_(x＋φ)(其中tan φ＝). [例1]　(多选)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则下列结论中错误的是(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最大值为2 C．f(x)在区间(0，)上单调递增 D．f(x)的图象关于x＝对称 分析：化为f(x)＝sin (x－)，从而求解． [解析]　由f(x)＝sin x－cos x＝sin (x－)， 对于A项，f(x)的最小正周期为2π，故A错； 对于B项，f(x)的最大值为，故B错； 对于C项，当x∈(0，)时，有－<x－<，因为y＝sin x在(－，)上单调递增， 所以f(x)在区间(0，)上单调递增，故C正确； 对于D项，当x＝时，有f()＝sin (－)＝0，所以x＝不是f(x)的对称轴，故D错． [答案]　ABD 　先利用辅助角“合一”公式将函数转化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式，再研究其有关性质． 　1.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωx·cos ωx(ωx>0)的最小正周期为π，则ω的值为________． 解析：f(x)＝cos2ωx＋sinωx cos ωx ＝＋sin 2ωx ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋ ＝sin (2ωx＋)＋， 由T＝＝π，得ω＝1. 答案：1 　辅助角“合一”公式的实际应用 　解答此类问题，关键是合理引入变量，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解． [例2]　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如下图). 分析：解决三角函数应用问题与解决一般的应用问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做出结论并回答问题． [解]　连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1. ∵AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ＝－sin2θ＋sinθcos θ ＝－(1－cos 2θ)＋sin 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)－＝cos (2θ－45°)－. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝(m2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2. 　三角函数应用题的特点和处理方法 解决三角函数的实际问题应首先设定主变量角α以及相关的常量与变量，建立含有角α的三角函数关系式，再利用三角函数的变换、性质等进行求解．求三角函数最值的问题，一般需利用三角函数的有界性来解决． 　2.如图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C，D为半圆上的点． (1)请你确定点C的位置，使△ABC的周长最大，并说明理由； (2)已知AD＝DC，设∠A