第五章5.5.1第一课时两角差的余弦公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第一课时　两角差的余弦公式 [学习目标]　1.结合实例，经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义．　2.理解两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用．　3.能够合理地运用两角差的余弦公式解决证明、求值、求角等有关问题． 授课提示：对应学生用书第168页 问题　我们已经知道cos 45°＝，cos 30°＝，由此我们能否得到cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°－cos 30°呢？　　　 [预习自测] 1．cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°的值是(　　) A．　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 解析：cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos (80°－35°)＝cos 45°＝. 答案：A 2．已知cos α＝，α∈(，2π)，则cos (α－)的值为(　　) A． B． C． D． 解析：因为cos α＝，α∈(，2π)， 所以sin α＝－， 所以cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋(－)×＝. 答案：D 3．cos 15°＝________． 解析：cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝·＋·＝. 答案： 4．若α∈[0，π]，cos cos ＋sin sin ＝0，则α的值为________． 解析：cos cos ＋sin sin ＝cos (－) ＝cos α＝0，又α∈[0，π]，故α＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第168页 　两角差的余弦公式 cos (α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β)). [例1]　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)cos (70°－40°)＝cos 70°＋cos 40°.(　　) (2)对于任意实数α，β，cos (α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (3)对任意α，β∈R，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1.(　　) 分析：利用公式特点，采用特殊值等方法进行推理和判断． [解析]　(1)cos (70°－40°)＝cos 30°≠cos 70°＋cos 40°.故错误． (2)当α＝－45°，β＝45°时，cos (α－β)＝cos (－45°－45°)＝cos (－90°)＝0，cos α－cos β＝cos (－45°)－cos 45°＝0，此时cos (α－β)＝cos α－cos β.故错误． (3)结论为两角差的余弦公式．故正确． (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝cos (60°－30°)＝cos 30°＝.故错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× [例2]　利用公式C(α－β)证明：cos (＋α)＝sin α. 分析：利用公式展开，代入对应特殊角的三角函数值可证． [证明]　cos (＋α)＝cos cos α－sin sin α ＝0－(－1)×sin α＝sin α. 　要正确地识记公式结构，公式右端的两部分分别为同名三角函数积，左端为两角差的余弦． 　1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意角α，β，都有cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) (2)存在角α，β，使得cos (α－β)＝cos α－cos β.(　　) (3)对任意角α，β，都有cos (α＋β)＝cos α＋cos β.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 　给角求值 [例3]　求下列各式的值： (1)cos (－375°)； (2)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (3)cos (α＋45°)cos α＋sin (α＋45°)sin α； (4)cos 15°＋sin 15°. 分析：(1)利用诱导公式，将求值问题转化为锐角三角函数的求值问题，再将非特殊角写成两个特殊角的差，从而利用两角差的余弦公式求值；(2)(3)观察式子特点，逆用公式求值．(4)注意式子中的数与特殊角的三角函数值的关系，再逆用公式． [解]　(1)cos (－375°)＝cos 375°＝cos 15° ＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°s