第五章5.5.1第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第四课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 [学习目标]　1.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．　2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的结构形式，并能利用公式进行简单的化简、求值、证明． 授课提示：对应学生用书第176页 预习教材，思考问题 问题　sin (55°＋55°)如何用55°的三角函数值表示？你会吗？　　　 [预习自测] 1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝(　　) A．　　 B．　　　 C．　　　 D． 解析：sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝. 答案：C 2．已知cos α＝，则cos 2α＝(　　) A． B．－ C．± D． 解析：cos 2α＝2cos2α－1＝2×()2－1＝－1＝－. 答案：B 3．已知tanα＝，则tan 2α＝________． 解析：tan 2α＝＝＝－. 答案：－ 4．cos215°－sin215°＝________． 解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第176页 　二倍角的正弦、余弦、正切公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin 2α＝2sin_αcos_α S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α 正切 tan2α＝ T2α [例1]　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角．(　　) (2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．(　　) (3)对任意角α，总有tan 2α＝.(　　) (4)sin2－cos2＝.(　　) 分析：利用公式及取值验证． [解析]　(1)二倍角的正弦、余弦公式中，角的取值范围是任意实数． (2)取α＝kπ(k∈Z)，则等式成立． (3)在二倍角的正切公式中，α≠kπ＋且α≠＋(k∈Z). (4)sin2－cos2＝－(cos2－sin2) ＝－cos(2×)＝－. [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× [例2]　已知sin α＝，α∈(，π)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 分析：先求出cos α的值，再由倍角公式求得sin 2α，cos 2α的值，进而利用商数关系即得tan 2α的值． [解]　∵sin α＝，α∈(，π)， ∴cos α＝－＝－， ∴sin2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝(－)2－()2＝， tan2α＝＝－. 　二倍角的三角函数值问题是一个很基础的求值问题，一般套用倍角公式求解．对tan 2α的值，既可利用倍角公式求解，也可利用商数关系求解． 　1.已知sin 2α＝，<α<，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． 解：由<α<，得<2α<π. 又sin 2α＝， 所以cos 2α＝－＝－， 于是sin 4α＝sin [2×(2α)] ＝2sin 2αcos 2α ＝2××(－)＝－； cos 4α＝cos [2×(2α)] ＝1－2sin22α ＝1－2×()2＝－； tan4α＝ ＝－×(－)＝. 　给角求值 对于给角求值问题，需观察题中角之间的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式S2α，C2α，T2α求值，注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系式进行转化． [例3]　求下列各式的值： (1)sin cos ；(2)1－2sin2750°； (3)；(4)cos20°cos 40°cos 80°. 分析：观察所求式子的特点，逆用公式求解． [解]　(1)sin cos ＝＝sin ＝. (2)1－2sin2750°＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝. (3)＝tan(2×150°)＝tan 300° ＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－. (4)cos 20°cos 40°cos 80° ＝·· ＝＝＝＝. 或者cos 20°cos 40°cos 80° ＝ ＝＝ ＝＝＝＝. 　给角求值问题的常见类型 1．直接正用或逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化，一般可以化为特殊角． 2．若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，也可以配凑出应用二倍角公式的式子，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 　2.求下列各式的值： (1)cos4－sin4；(2)； (3)coscos cos cos cos . 解：(1)原式＝(cos2＋sin2)(cos2－sin2) ＝cos2－sin2＝cos(