第五章5.5.1第三课时两角和与差的正切公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第三课时　两角和与差的正切公式 [学习目标]　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．　2.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．　3.能灵活运用两角和与差的正切公式，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 授课提示：对应学生用书第174页 预习教材，思考问题 问题1　怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？ 问题2　由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？　　　 [预习自测] 1．tan 75°＝(　　) A．2－　　　　　　　　 B．2＋ C． D． 解析：tan 75°＝tan (30°＋45°)＝ ＝＝＝＝＝2＋. 答案：B 2.＝(　　) A．1 B．－1 C．tan 5° D．－tan 5° 解析：原式＝tan (20°＋25°)＝tan 45°＝1. 答案：A 3．tan 15°＝________． 解析：tan 15°＝tan (45°－30°) ＝ ＝2－. 答案：2－ 4.＝________． 解析：原式＝tan (50°－20°)＝tan 30°＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第174页 　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 T(α＋β) tan (α＋β)＝ α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 T(α－β) tan (α－β)＝ α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z) [例1]　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β不成立．(　　) (2)可以使用公式＝求值．(　　) (3)＝tan 128°.(　　) 分析：根据公式及取值验证． [解析]　(1)α＝β＝45°，式子无意义．(2)tan 没有意义．(3)逆用两角和的正切公式． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 　1.在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的． 2．必须在定义域范围内使用公式，即tan α，tan β，tan (α±β)只要有一个不存在就不能使用这两个公式，只能用诱导公式来解． 　1.判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)存在α，β∈R，使tan (α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　) (2)对任意α，β∈R，tan (α＋β)＝都成立．(　　) (3)tan (α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β).(　　) 解析：(1)当α＝0，β＝时，tan (α＋β)＝tan (0＋)＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立． (2)两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan α·tan β≠1. (3)当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，tan αtan β≠1时，由前一个式子两边同乘1－tan αtan β可得后一个式子． 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 　给角求值 [例2]　计算下列各式的值： (1)tan 105°；(2)； (3)； (4)tan 50°＋tan 70°－tan 50°tan 70°. 分析：(1)题是两角和的正切公式的正用；(2)题是逆用两角和的正切公式；(3)题是先把转化为tan 60°，构造两角差的正切公式，再逆用公式；(4)题是应用T(α＋β)的变形结论求解． [解]　(1)tan 105°＝tan (60°＋45°)＝＝＝－2－. (2)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－. (3)原式＝＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1. (4)原式＝tan (50°＋70°)(1－tan 50°tan 70°)－×tan 50°tan 70° ＝－＋tan 50°tan 70°－tan 50°tan 70°＝－. 　1.注意公式的结构，尤其是符号． 2．T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)； tan αtan β＝1－. 3．T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β)； tan αtan β＝－1. 4．tan (＋α)＝，tan (－α)＝，这两个结论应该记住，方便解题． 　2.tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________． 解析：∵